Das Kantonsgericht zieht in Erwägung:

1. Gemäss Art. 1 Abs. 1 AVIG in Verbindung mit den Art. 56 und 57 des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 kann gegen Einspracheentscheide aus dem Bereich der Arbeitslosenversicherung Beschwerde beim kantonalen Versicherungsgericht erhoben werden. Örtlich zuständig ist nach Art. 100 Abs. 3 AVIG in Verbindung mit Art. 128 Abs. 1 sowie Art. 119 Abs. 1 lit. a und Abs. 2 der Verordnung über die obligatorische Arbeitslosenversicherung und die Insolvenzentschädigung (AVIV) vom 31. August 1983 das Versicherungsgericht desjenigen Kantons, in dem die versicherte Person zur Zeit des Verfügungserlasses die Kontrollpflicht erfüllt. Vorliegend kam der Beschwerdeführer seinen Kontrollpflichten im Kanton Basel-Landschaft nach, weshalb die örtliche Zuständigkeit des Kantonsgerichts zu bejahen ist. Laut § 54 Abs. 1 lit. a des Gesetzes über die Verfassungs- und Verwaltungsprozessordnung (VPO) vom 16. Dezember 1993 beurteilt das Kantonsgericht als Versicherungsgericht als einzige gerichtliche Instanz des Kantons Beschwerden gegen Einspracheentscheide der Versicherungsträger gemäss Art. 56 ATSG, weshalb auch die sachliche Zuständigkeit des Kantonsgerichts gegeben ist. Auf die im Übrigen form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde ist demnach einzutreten.

2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdegegnerin die Anspruchsberechtigung des Beschwerdeführers für die Monate Oktober 2019 bis Dezember 2019 mangels anrechenbaren Arbeitsausfalls zu Recht abgelehnt hat.

3.1 Der Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung setzt u.a. voraus, dass die versicherte Person einen anrechenbaren Arbeitsausfall erlitten hat (Art. 8 Abs. 1 lit. b AVIG). Der Arbeitsausfall ist gemäss Art. 11 Abs. 1 AVIG anrechenbar, wenn er einen Verdienstausfall zur Folge hat und mindestens zwei aufeinanderfolgende volle Arbeitstage dauert. Ein Arbeitsausfall, für den der arbeitslosen Person Lohnansprüche oder Entschädigungsansprüche wegen vorzeitiger Auflösung des Arbeitsverhältnisses zustehen, ist nicht anrechenbar (Art. 11 Abs. 3 AVIG). Der Arbeitsausfall ist überdies so lange nicht anrechenbar, als freiwillige Leistungen des Arbeitgebers den durch die Auflösung des Arbeitsverhältnisses entstehenden Verdienstausfall decken (Art. 11a Abs. 1 AVIG) und den Höchstbetrag gemäss Art. 3 Abs. 2 AVIG von Fr. 148‘200.-- übersteigen (Art. 11a Abs. 2 AVIG). Als freiwillige Leistungen des Arbeitgebers bei der Auflösung des privatrechtlichen oder öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisses gelten sämtliche Leistungen, die nicht Lohn- oder Entschädigungsansprüche nach Art. 11 Abs. 3 AVIG darstellen (Art. 10a AVIV; BGE 141 V 426 E. 3; Urteil des Bundesgerichts vom 14. Januar 2016, 8C_822/2015, E. 2.1). Bei vorzeitiger Auflösung des Arbeitsverhältnisses im gegenseitigen Einvernehmen wird der versicherten Person gemäss Art. 10h Abs. 1 AVIV während der Zeit, die der Kündigungsfrist entspricht, solange kein Arbeitsausfall angerechnet, wie die Leistungen des Arbeitgebers den Einkommensverlust während dieser Zeit decken. Übersteigen die Leistungen des Arbeitgebers den Betrag des der versicherten Person bis zur ordentlichen Beendigung des Arbeitsverhältnisses geschuldeten Lohnes, so sind die Bestimmungen über die freiwilligen Leistungen des Arbeitgebers nach Art. 11a AVIG anwendbar (Art. 10h Abs. 2 AVIV; vgl. auch BGE 141 V 426 E. 3, Urteil des Bundesgerichts vom 14. Januar 2016, 8C_822/2015, E. 2.1).

3.2 Nach Art. 341 Abs. 1 des Bundesgesetzes betreffend die Ergänzung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches, Fünfter Teil: Obligationenrecht (OR) vom 30. März 1911 kann die Arbeitnehmerin während der Dauer des Arbeitsverhältnisses und eines Monats nach dessen Beendigung auf Forderungen, die sich aus unabdingbaren Vorschriften des Gesetzes oder aus unabdingbaren Bestimmungen eines Gesamtarbeitsvertrages ergeben, nicht verzichten. Diese Bestimmung will die sich in einem Abhängigkeitsverhältnis befindlichen, sozial schwächeren Arbeitnehmerin davor schützen, dass sie während oder kurz nach Ablauf des Arbeitsverhältnisses aus Furcht vor nachteiligen Folgen Verzichtserklärungen abgibt. Das Verzichtsverbot nach Art. 341 OR erfasst Ansprüche aus zwingendem Recht. Die relative Unverzichtbarkeit dieser Vorschriften verbietet jedoch nicht, das Arbeitsverhältnis jederzeit durch den Abschluss eines auf übereinstimmenden und mängelfreien Willenserklärungen beruhenden Aufhebungsvertrags aufzulösen, sofern eine solche Vereinbarung nicht zu einer klaren Umgehung des zwingenden Kündigungsschutzes führt. Mit anderen Worten müssen beide Parteien auf Rechte verzichten, so dass es sich um einen echten Vergleich mit gegenseitigem Nachgeben handelt, der nicht nur der Arbeitgeberin Vorteile bringt. Der Unterschied zwischen einem verbotenen (einseitigen) Verzicht und einem zulässigen Vergleichsverzicht besteht darin, dass beim Vergleich beide Parteien auf Ansprüche von ungefähr gleichem Wert verzichten und so zu einer angemessenen Lösung gelangen. Dabei kann es sich auch um Ansprüche handeln, die im Zeitpunkt des Vergleichsabschlusses unsicher sind. Erforderlich ist, dass der Vergleich unter den konkreten tatsächlichen und rechtlichen Umständen zur Zeit seines Abschlusses als angebracht erscheint (Urteil des Bundesgerichts vom 9. Juli 2020, 8C_94/2020, E. 6.2 mit Hinweisen).

3.3 Unvorhersehbare Umstände, die keiner Partei zugerechnet werden können und nach dem Zeitpunkt des Abschlusses des Aufhebungsvertrages, aber noch während der ohne den Abschluss des Aufhebungsvertrages massgebenden Kündigungsfrist auftreten, sind für die Frage der Zulässigkeit bzw. Rechtfertigung des Aufhebungsvertrages auch rückwirkend in die Beurteilung der legitimen Interessenlage miteinzubeziehen. Im Sinne einer Faustregel darf die Arbeitnehmerin nicht schlechter gestellt sein, als sie dies im Falle der Arbeitgeberkündigung gewesen wäre. Der Arbeitnehmerin sind als Ausgleich dieser Nachteile entsprechende Vorteile zu gewähren, damit das Erfordernis der Reziprozität der Konzessionen erfüllt ist. Lohnansprüche, die der Arbeitnehmerin aufgrund der Sperrfrist und der damit verlängerten Vertragslaufzeit zustehen würden, sind daher vom Arbeitgeber bzw. der Arbeitgeberin abzugelten (Urteil des Bundesgerichts vom 9. Juli 2020, 8C_94/2020, E. 6.3 mit Hinweisen).

3.4 Art. 336c Abs. 1 lit. b OR sieht vor, dass der Arbeitgeber nicht kündigen darf, während die Arbeitnehmerin ohne eigenes Verschulden durch Krankheit oder durch Unfall ganz oder teilweise an der Arbeitsleistung verhindert ist. Gemäss Art. 336c Abs. 2 OR ist die Kündigung, die während einer solchen Sperrfrist erklärt wird, nichtig; ist dagegen die Kündigung vor Beginn einer solchen Frist erfolgt, aber die Kündigungsfrist bis dahin noch nicht abgelaufen, so wird deren Ablauf unterbrochen und erst nach Beendigung der Sperrfrist fortgesetzt.

3.5 In verfahrensrechtlicher Hinsicht bleibt darauf hinzuweisen, dass das sozialversicherungsrechtliche Verwaltungs- und Verwaltungsgerichtsbeschwerdeverfahren vom Untersuchungsgrundsatz beherrscht ist, wonach Versicherungsträger und Gerichte von Amtes wegen für die richtige und vollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhaltes zu sorgen haben (Art. 43 Abs. 1 ATSG bzw. Art. 61 lit. c ATSG; BGE 125 V 195 E. 2). Dies bedeutet, dass in Bezug auf den rechtserheblichen Sachverhalt Abklärungen dann vorzunehmen sind, wenn und soweit hierzu aufgrund der Parteivorbringen oder anderer sich aus den Akten ergebender Anhaltspunkte hinreichender Anlass besteht. Die Verwaltung als verfügende Instanz und im Beschwerdefall das Gericht dürfen eine Tatsache erst und nur dann als bewiesen annehmen, wenn sie von ihrem Bestehen überzeugt sind. Im Sozialversicherungsrecht hat das Gericht seinen Entscheid nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu fällen. Die blosse Möglichkeit eines bestimmten Sachverhalts genügt diesen Beweisanforderungen nicht. Es ist vielmehr jener Sachverhaltsdarstellung zu folgen, die das Gericht von allen möglichen Geschehensabläufen als die wahrscheinlichste würdigt (BGE 126 V 360 E. 5b, 125 V 195 E. 2, 121 V 47 E. 2a, 121 V 208 E. 6b).

4.1 Die Parteien gehen davon aus, dass die Aufhebungsvereinbarung vom 19. Juni 2019 gültig zustande gekommen ist. Dem ist nichts entgegenzusetzen. Ebenfalls sind sich die Parteien einig, dass die Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers, die nicht vorauszusehen war, erst nach der Kündigung eintrat und dieser Umstand die dreimonatige Kündigungsfrist verlängert hätte. Weiter gehen die Parteien zu Recht davon aus, dass der Beschwerdeführer nicht gezwungen war, die Aufhebungsvereinbarung zu unterzeichnen. Insbesondere ergeben sich aus den Akten keine Hinweise, dass der Beschwerdeführer bereits zum Zeitpunkt des Abschlusses der Aufhebungsvereinbarung krank gewesen oder die später aufgetretene Arbeitsunfähigkeit voraussehbar gewesen wäre. Im Weiteren erweist sich die Aufhebungsvereinbarung auch inhaltlich als zulässig, so dass sie verbindlich ist. Die vertragliche Kündigungsfrist wurde eingehalten und dem Beschwerdeführer standen in dieser Zeit die vollen Lohnansprüche zu. Der Beschwerdeführer verzichtete mit seiner Unterschrift unter anderem auf die Kündigungsschutzregeln gemäss Art. 336c OR ("[...] and to mutually settle all claims and entitlements arising out of or relating to the Employment Agreement and the termination thereof."). Für seinen Verzicht auf den Kündigungsschutz und allfällige weitere Ansprüche erhielt er von seiner Arbeitgeberin eine Entschädigung in der Höhe von Fr. 75'472.--, was in etwa fünf Bruttomonatslöhne entspricht. Er wurde somit mit der Aufhebungsvereinbarung und der damit verbundenen Zahlung von Fr. 75'472.-- wesentlich bessergestellt, als wenn die Arbeitgeberin aufgrund der Arbeitsunfähigkeit und der damit um drei Monate verlängerten Kündigungsfrist gemäss Art. 336c Abs. 2 OR den Lohn noch bis Ende Dezember 2019 auszurichten gehabt hätte (drei Monatslöhne = ca. Fr. 42'282.--). Soweit der Beschwerdeführer die Auffassung vertritt, er sei für den Verzicht auf den Kündigungsschutz nicht angemessen entschädigt worden, kann ihm daher nicht gefolgt werden. Nicht entscheidend ist zudem gemäss vorerwähnter bundesgerichtlicher Praxis, dass die Arbeitsunfähigkeit im Zeitpunkt der Aufhebungsvereinbarung noch nicht erkennbar war, denn Unvorhergesehenes auszuschliessen ist Sinn und Zweck einer Aufhebungsvereinbarung. Davon geht auch der Beschwerdeführer aus, wenn er darlegt, dass die Aufhebungsvereinbarung mögliche Rechtsunsicherheiten in Bezug auf allfällige, noch bestehende Ansprüche aus dem Arbeitsvertrag einvernehmlich regeln wolle. Weiter gilt es zu berücksichtigen, dass die Arbeitgeberin dem Beschwerdeführer freiwillig einen weiteren Monatslohn in der Höhe von Fr. 14'093.75 ausrichtete. Damit erhielt er insgesamt eine freiwillige Entschädigung im Betrag von Fr. 89'565.75. Abzüglich des Lohns in der Höhe von Fr. 42'282.--, den er bei einer ordentlichen Kündigung unter Einhaltung der Sperrfrist verdient hätte, verbleibt ihm daher immer noch ein Betrag von Fr. 47'283.--, der allfällige weitere Forderungen aus dem Arbeitsverhältnis abzudecken vermag und der bei der Berechnung des Arbeitsausfalls nicht berücksichtigt wird.

4.2 Die Beschwerdegegnerin ging somit zu Recht davon aus, dass Art. 11 Abs. 3 AVIG zur Anwendung gelangt und von Oktober 2019 bis Dezember 2019 kein anrechenbarer Arbeitsausfall vorlag. Somit hat der Beschwerdeführer frühestens ab dem 1. Januar 2020 Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung. Die Beschwerde erweist sich daher als unbegründet und ist abzuweisen.

5. Art. 61 lit. f ATSG in der seit dem 1. Januar 2021 massgebenden Fassung hält fest, dass das Verfahren bei Streitigkeiten über Leistungen kostenpflichtig ist, wenn dies im jeweiligen Einzelgesetz vorgesehen ist. Das AVIG sieht keine Kostenpflicht vor, weshalb der vorliegende Prozess vor dem kantonalen Gericht für die Parteien kostenlos zu sein hat. Es sind demnach für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird keine Parteientschädigung zugesprochen.