Das Kantonsgericht zieht in Erwägung:

1.1 Gemäss Art. 56 Abs. 1 und Art. 57 des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000, dessen Bestimmungen gemäss Art. 2 ATSG in Verbindung mit Art. 1 Abs. 1 des Bundesgesetzes über die Unfallversicherung (UVG) vom 20. März 1981 auf die Unfallversicherung anwendbar sind, kann gegen Einspracheentscheide der Unfallversicherer beim zuständigen kantonalen Versicherungsgericht Beschwerde erhoben werden. Zuständig ist nach Art. 58 ATSG das Versicherungsgericht desjenigen Kantons, in dem die versicherte Person zur Zeit der Beschwerdeerhebung ihren Wohnsitz hat. Vorliegend befindet sich dieser in Reinach (BL), weshalb die örtliche Zuständigkeit des Kantonsgerichts Basel-Landschaft zu bejahen ist. Laut § 54 Abs. 1 lit. a des Gesetzes über die Verfassungs- und Verwaltungsprozessordnung (VPO) vom 16. Dezember 1993 beurteilt das Kantonsgericht als Versicherungsgericht als einzige gerichtliche Instanz des Kantons Beschwerden gegen Einspracheentscheide der Versicherungsträger gemäss Art. 56 ATSG. Es ist somit auch sachlich zur Behandlung der vorliegenden Beschwerde zuständig.

1.2 Mit Beschluss vom 15. September 2016 hat das Kantonsgericht festgestellt, dass die Beschwerde der Versicherten vom 18. Mai 2016 gegen den Einspracheentscheid der Allianz vom 8. April 2016 rechtzeitig erhoben worden ist. Sodann hat die Versicherte am 6. Oktober 2016 und somit innert der vom Kantonsgericht angesetzten Nachfrist eine verbesserte Beschwerde eingereicht, die - im Gegensatz zur ursprünglichen Eingabe vom 18. Mai 2016 - nunmehr ein klares Rechtsbegehren, eine ausführliche und sachbezogene Begründung sowie die Unterschrift der Beschwerde führenden Versicherten enthält. Somit kann auf die Beschwerde der Versicherten gegen den Einspracheentscheid der Allianz vom 8. April 2016 eingetreten werden.

2. Streitgegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens bildet einzig die Frage, ob die Allianz im angefochtenen Einspracheentscheid vom 8. April 2016 zu Recht auf die Einsprache der Versicherten vom 9. Juli 2013 gegen die Verfügung vom 4. Juni 2013 nicht eingetreten ist. Das Kantonsgericht hat deshalb nur solche Rügen zu berücksichtigen, welche sich auf die Eintretensfrage beziehen. Kommt das Kantonsgericht zum Schluss, dass die Allianz auf die Einsprache hätte eintreten und sich inhaltlich mit den Vorbringen der Versicherten befassen müssen, so ist die Beschwerde gutzuheissen und der Fall zur materiellen Beurteilung der Einsprache an die Allianz zurückzuweisen. Anderenfalls ist die Beschwerde der Versicherten abzuweisen und der vorinstanzliche Nichteintretensentscheid zu bestätigen.

3.1 Gemäss Art. 52 Abs. 1 Satz 1 ATSG kann gegen Verfügungen innerhalb von 30 Tagen bei der verfügenden Stelle Einsprache erhoben werden. In formeller Hinsicht stellt die genannte Bestimmung keinerlei Anforderungen an die Einsprache. Der Bundesrat hat jedoch in den Art. 10-12 der Verordnung über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSV) vom 11. September 2002 Bestimmungen zu Form und Inhalt der Einsprache sowie zum Einspracheverfahren erlassen. Gemäss Art. 10 Abs. 1 ATSV müssen Einsprachen ein Rechtsbegehren und eine Begründung enthalten. Die schriftlich erhobene Einsprache muss die Unterschrift der Einsprache führenden Person oder ihres Rechtsbeistands enthalten (Art. 10 Abs. 4 Satz 1 ATSV). Genügt die Einsprache den Anforderungen nach Abs. 1 nicht oder fehlt die Unterschrift, so setzt der Versicherer eine angemessene Frist zur Behebung des Mangels an und verbindet damit die Androhung, dass sonst auf die Einsprache nicht eingetreten werde (Art. 10 Abs. 5 ATSV). Das Einspracheverfahren wird mit einem Nichteintretensentscheid abgeschlossen, wenn die Eintretensvoraussetzungen nicht erfüllt sind (BGE 142 V 154 f. E. 2.2 mit weiteren Hinweisen)

3.2 In der Lehre wird die Auffassung vertreten, dass das Einspracheverfahren "unkompliziert" sein soll (Hansjörg Seiler, Rechtsfragen des Einspracheverfahrens in der Sozialversicherung [Art. 52 ATSG], in: Ehrenzeller/Schaffhauser [Hrsg.], Sozialversicherungsrechtstagung 2007, St. Gallen 2007, S. 84). Entsprechend wird denn auch verlangt, dass das Erfordernis von Antrag und Begründung, wie es in Art. 10 Abs. 1 ATSV ausdrücklich genannt wird, mit Blick auf die pragmatische, die Beschreitung des Rechtsmittelweges erleichternde Ausgestaltung des Einspracheverfahrens offen verstanden werden muss (Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, 3. Auflage, Zürich/Basel/Genf 2015, Art. 52 Rz. 36). An die Form der Einsprache dürfen deshalb, so der genannte Autor weiter, nur minimale Anforderungen gestellt werden (Ueli Kieser, a.a.O., Rz. 37).

3.3 Bei der Auslegung der vorstehend geschilderten Formvorschriften ist schliesslich auch Art. 29 Abs. 1 der Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft (BV) vom 18. April 1999 zu beachten, der überspitzten Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung verbietet. Eine solche liegt vor, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und den Rechtsuchenden den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt. Wohl sind im Rechtsgang prozessuale Formen unerlässlich, um die ordnungsgemässe und rechtsgleiche Abwicklung des Verfahrens sowie die Durchsetzung des materiellen Rechts zu gewährleisten. Nicht jede prozessuale Formstrenge steht demnach mit Art. 29 Abs. 1 BV in Widerspruch. Überspitzter Formalismus ist nur gegeben, wenn die strikte Anwendung der Formvorschriften durch keine schutzwürdigen Interessen gerechtfertigt ist, zum blossen Selbstzweck wird und die Verwirklichung des materiellen Rechts in unhaltbarer Weise erschwert oder verhindert (BGE 142 V 158 E. 4.2 mit Hinweisen).

4.1 Vorliegend ist unbestritten, dass die innert der 30-tägigen Einsprachefrist eingegangene Einsprache der Versicherten vom 9. Juli 2013 die formellen Anforderungen, denen dieses Rechtsmittel zu genügen hat, nicht erfüllte. Die Versicherte erhob zwar unmissverständlich Einsprache gegen die Verfügung vom 4. Juni 2013, ansonsten beschränkte sie sich in ihrer Eingabe aber im Wesentlichen auf die Mitteilung, dass sie die Angelegenheit ihrem Anwalt übergeben werde. Die Allianz wies die Versicherten deshalb am 15. Juli 2013 zu Recht darauf hin, dass eine Einsprache ein Rechtsbegehren und eine Begründung enthalten müsse. Gleichzeitig setzte sie der Einsprecherin gestützt auf Art. 10 Abs. 5 ATSV eine Frist bis 16. September 2013 zur Behebung der Mängel an und verband damit die Androhung, dass sonst auf die Einsprache nicht eingetreten werde.

4.2 In der Folge reagierte die Versicherte mit Eingabe vom 16. September 2013 - und somit fristgerecht - auf die Aufforderung der Allianz, die (ursprüngliche) Einsprache zu verbessern. Dieses Schreiben der Versicherten weist nebst der Anrede und der Grussformel und der Unterschrift der Einsprecherin folgenden Inhalt auf:

"Wir halten nach wie vor an der Einsprache und der Wiedererwägung gegen die Aufhebung der Verfügung und des Vertrages vom 07. Februar 2003 fest.

Mit Brief vom 13. Mai 2013 haben wir die Punkte klar beschrieben. Mit Brief vom 04. Juni 2013 haben Sie klar bestätigt, dass ein Schadensregulierungsvertrag besteht, an dem wir wie oben erwähnt festhalten."

Diesem Schreiben kann zumindest sinngemäss das Rechtsbegehren entnommen werden, dass die Versicherte die Aufhebung der angefochtenen (Wiedererwägungs-)Verfügung vom 4. Juni 2013 und die Weiterausrichtung der ursprünglichen, mit Verfügung vom 7. Februar 2003 zugesprochenen Invalidenrente beantragt. Das Vorliegen eines hinreichend klaren Rechtsbegehrens wird denn auch von der Allianz im angefochtenen Einspracheentscheid - zu Recht - nicht in Frage gestellt. Strittig und im Folgenden zu prüfen ist hingegen, ob das wiedergegebene Schreiben der Versicherten vom 16. September 2013 nunmehr (auch) die formellen Anforderungen erfüllt, denen die Begründung einer Einsprache zu genügen hat.

4.3 Die Allianz hat die aufgeworfene Frage im angefochtenen Einspracheentscheid vom 8. April 2016 verneint. Zur Begründung hat sie im Wesentlichen geltend gemacht, die Versicherte habe sich in ihrer Eingabe mit der angefochtenen Verfügung nicht ansatzweise auseinandergesetzt und auch nicht wenigstens summarisch dargelegt, auf welche Tatsachen sie sich berufe und inwiefern die Verfügung unrichtig sein solle. Der blosse Verweis auf frühere Stellungnahmen genüge gemäss einem Urteil des Bundesgerichts vom 26. Mai 2011 (8C_28/2011) als Einsprachebegründung nicht. Dieser Auffassung der Vorinstanz kann nun aber nicht beigepflichtet werden. Ihre Betrachtungsweise und der daraus gezogene Schluss, auf die Einsprache nicht einzutreten, erweisen sich als zu streng und im Ergebnis als überspitzt formalistisch. Der Allianz kann bereits insoweit nicht gefolgt werden, als sie geltend macht, das Bundesgericht habe im erwähnten Urteil vom 26. Mai 2011 (8C_28/2011) entschieden, dass der blosse Verweis auf frühere Stellungnahmen als Einsprachebegründung nicht genüge. Entgegen der Darstellung der Allianz hat sich das Bundesgericht nicht abschliessend in diesem Sinne geäussert, sondern es hat die betreffende Frage ausdrücklich offen gelassen (vgl. E. 5.3, 2. Satz des Urteils). Dies ist jedoch nicht von entscheidender Bedeutung, ausschlaggebend ist im vorliegenden Fall vielmehr, dass sich die Versicherte in ihrer verbesserte Einsprache nicht darauf beschränkt hat, zur Begründung ihres Standpunktes einzig und ausschliesslich auf frühere Ausführungen, nämlich auf ihr Schreiben an die Allianz vom 13. Mai 2013, zu verweisen. Sie hat darüber hinaus nochmals - wenn auch ausgesprochen kurz - erklärt, weshalb sie mit der angefochtenen Verfügung vom 4. Juni 2013 nicht einverstanden ist. Sie weist darauf hin, dass die (ursprüngliche) Rentenverfügung vom 7. Februar 2003 auf einem Vergleich - oder in den Worten der Einsprecherin - auf einem Vertrag beruht. Die Allianz selber habe das Bestehen eines solchen "Schadenregulierungsvertrags" im Brief vom 4. Juni 2013 (gemeint ist damit die angefochtene Verfügung vom genannten Tag) "klar" bestätigt. Indem die Einsprecherin sodann explizit ausführt, dass sie an diesem Vertrag festhalte, bringt sie hinreichend klar ihre Auffassung zum Ausdruck, dass eine auf einem Vergleich beruhende Rentenverfügung von der Allianz nicht einseitig in Wiedererwägung gezogen und zu Ungunsten der Versicherten geändert werden kann. Ob dieser Standpunkt auch inhaltlich zutrifft, ist selbstverständlich nicht Gegenstand der Eintretensfrage, dies wird vielmehr im Rahmen der materiellen Beurteilung des Rechtsmittels zu entscheiden sein. Hält man sich die erwähnten (kurzen) Ausführungen der Einsprecherin vor Augen, so kann aber festgehalten werden, dass sich die Versicherte in ihrer verbesserten Einsprache vom 16. September 2016 zumindest ansatzweise mit der angefochtenen Verfügung vom 4. Juni 2013 auseinandergesetzt hat. Ebenso hat sie knapp dargelegt, auf welche Tatsachen sie sich beruft und inwiefern die Verfügung unrichtig sein soll. Bei ihren Ausführungen handelt es sich deshalb - entgegen der Auffassung der Allianz - in formeller Hinsicht um eine ausreichende Einsprachebegründung. An die Eingabe einer juristischen Laiin dürfen, jedenfalls soweit die Erfüllung der formellen Mindestanforderungen einer Einsprache zur Beurteilung steht, keine höheren Anforderungen gestellt werden. Klarerweise darf von ihr nicht verlangt werden, dass sie auf sämtliche Vorbringen des Versicherungsträgers in der angefochten Verfügung eingeht oder dass sie sich gar inhaltlich mit der im Anfechtungsobjekt wiedergegebenen bundesgerichtlichen Rechtsprechung befasst. In diesem Zusammenhang ist vielmehr nochmals zu betonen, dass auch in der Lehre - zu Recht - die Auffassung vertreten wird, dass an die Form der Einsprache nur minimale Anforderungen gestellt werden dürfen (vgl. E. 3.2 hiervor und die dortigen Hinweise).

5. Nach dem Gesagten genügt die Einsprache der Versicherten vom 9. Juli 2013 bzw. ihre fristgerecht nachgereichte verbesserte Eingabe vom 16. September 2013 - wenn auch knapp - den formellen Anforderungen, die eine Einsprache hinsichtlich Rechtsbegehren und Begründung zu erfüllen hat. Somit ist die Allianz aber zu Unrecht auf die Einsprache der Versicherten vom 9. Juli/16. September 2013 nicht eingetreten. Der angefochtene Nichteintretensentscheid vom 8. April 2016 ist demnach aufzuheben und die Angelegenheit zur materiellen Beurteilung der Einsprache der Versicherten an die Allianz zurückzuweisen. Die vorliegende Beschwerde ist in diesem Sinne gutzuheissen.

6.1 Art. 61 lit. a ATSG hält fest, dass das Verfahren vor dem kantonalen Gericht für die Parteien kostenlos zu sein hat. Es sind deshalb für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben.

6.2 Laut Art. 61 lit. g ATSG hat die obsiegende Beschwerde führende Person Anspruch auf Ersatz der Parteikosten. Darunter sind die Kosten zu verstehen, die einer Beschwerde führenden versicherten Person im gerichtlichen Verfahren für den Beizug einer Rechtsanwältin bzw. eines Rechtsanwaltes entstanden sind. Vorliegend hat die Beschwerdeführerin zwar obsiegt, da sie sich jedoch nicht anwaltlich hat vertreten lassen, entfällt ein Anspruch auf Ersatz der Parteikosten im Sinne der genannten Bestimmung. Die ausserordentlichen Kosten des Verfahrens können demnach wettgeschlagen werden.

7.1 Gemäss Art. 90 des Bundesgesetzes über das Bundesgericht (BGG) vom 17. Juni 2005 ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen. Selbständig eröffnete Zwischenentscheide sind - mit Ausnahme der Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren (vgl. Art. 92 BGG) - nur mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten anfechtbar, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung handelt es sich bei einem Rückweisungsentscheid an den Versicherungsträger zur Aktenergänzung und anschliessenden Neuverfügung nicht um einen Endentscheid, sondern um einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 Abs. 1 BGG. Dies gilt auch für einen Rückweisungsentscheid, mit dem eine materielle Teilfrage (z.B. eine von mehreren materiellrechtlichen Anspruchsvoraussetzungen) beantwortet wird (BGE 133 V 481 f. E. 4.2).

7.2 Beim vorliegenden Rückweisungsentscheid handelt es sich somit um einen Zwischenentscheid im Sinne des BGG. Demnach ist gegen ihn eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht nur unter den in Art. 93 Abs. 1 BGG genannten Voraussetzungen zulässig. Ob diese erfüllt sind, entscheidet das Bundesgericht. Die nachstehende Rechtsmittelbelehrung erfolgt unter diesem ausdrücklichen Vorbehalt.