Das Kantonsgericht zieht in Erwägung:

1.1 Gemäss Art. 56 Abs. 1 und Art. 57 des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000, dessen Bestimmungen gemäss Art. 2 ATSG in Verbindung mit Art. 1 Abs. 1 des Bundesgesetzes über die Unfallversicherung (UVG) vom 20. März 1981 auf die Unfallversicherung anwendbar sind, kann gegen Einspracheentscheide der Unfallversicherer beim zuständigen kantonalen Versicherungsgericht Beschwerde erhoben werden. Zuständig ist nach Art. 58 ATSG das Versicherungsgericht desjenigen Kantons, in dem die versicherte Person zur Zeit der Beschwerdeerhebung ihren Wohnsitz hat. Vorliegend befindet sich dieser in Y.____, weshalb die örtliche Zuständigkeit des Kantonsgerichts zu bejahen ist. Laut § 54 Abs. 1 lit. a des Gesetzes über die Verfassungs- und Verwaltungsprozessordnung (VPO) vom 16. Dezember 1993 beurteilt das Kantonsgericht als Versicherungsgericht und einzige gerichtliche Instanz des Kantons Beschwerden gegen Einspracheentscheide der Versicherungsträger gemäss Art. 56 ATSG. Es ist somit auch sachlich zur Behandlung der vorliegenden Beschwerde zuständig.

1.2 Im versicherungsgerichtlichen Beschwerdeverfahren sind grundsätzlich nur Rechtsverhältnisse zu überprüfen und zu beurteilen, zu denen der zuständige Sozialversicherer vorgängig verbindlich – in Form einer Verfügung – Stellung genommen hat. Insoweit bestimmt die Verfügung den beschwerdeweise weiterziehbaren Anfechtungsgegenstand. Umgekehrt fehlt es an einem Anfechtungsgegenstand und somit an einer Sachurteilsvoraussetzung, wenn und insoweit keine Verfügung ergangen ist (BGE 131 V 164 f. E. 2.1, 125 V 414 E. 1a und b, je mit Hinweisen). Vorliegend lehnte die Beschwerdegegnerin eine Leistungspflicht mangels Unfallkausalität der Beschwerden ab. Streitgegenstand des Beschwerdeverfahrens ist demnach einzig die Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin. Diesbezüglich ist auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde einzutreten. Soweit die Beschwerdeführerin darüber hinaus beantragt, die (Haftpflicht)Versicherung der Unfallverursacherin sei zur Kostenübernahme zu verpflichten, fehlt es an den Sachurteilsvoraussetzungen, weshalb darauf im Rahmen des vorliegenden Beschwerdeverfahrens nicht eingetreten werden kann. Streitige Haftpflichtansprüche sind in einem zivilprozessualen Verfahren geltend zu machen.

2. Zu prüfen ist, ob die Beschwerdegegnerin zu Recht die Übernahme von Versicherungsleistungen abgelehnt hat.

3.1 Nach Art. 10 Abs. 1 des Bundesgesetzes über die Unfallversicherung (UVG) vom 20. März 1981 hat die versicherte Person Anspruch auf die zweckmässige Behandlung ihrer Unfallfolgen. Den gesetzlich umschriebenen Anspruch auf Heilbehandlung hat die versicherte Person so lange, als von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung eine namhafte Verbesserung ihres Gesundheitszustandes erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung (IV) noch nicht abgeschlossen sind (Art. 19 Abs. 1 UVG e contrario). Ist sie infolge des Unfalls voll oder teilweise arbeitsunfähig, so steht ihr gemäss Art. 16 Abs. 1 UVG ein Taggeld zu. Wird sie infolge des Unfalls zu mindestens 10% invalid, so hat sie Anspruch auf eine Invalidenrente (Art. 18 Abs. 1 UVG). Erleidet sie durch den Unfall eine dauernde erhebliche Schädigung der körperlichen oder geistigen Integrität, so hat sie Anspruch auf eine angemessene Integritätsentschädigung (Art. 24 Abs. 1 UVG).

3.2 Die Leistungspflicht eines Unfallversicherers gemäss UVG setzt voraus, dass zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden ein natürlicher Kausalzusammenhang besteht. Ursachen im Sinne des natürlichen Kausalzusammenhangs sind alle Umstände, ohne deren Vorhandensein der eingetretene Erfolg nicht als eingetreten oder nicht als in der gleichen Weise beziehungsweise nicht zur gleichen Zeit eingetreten gedacht werden kann. Entsprechend dieser Umschreibung ist für die Bejahung des natürlichen Kausalzusammenhangs nicht erforderlich, dass ein Unfall die alleinige oder unmittelbare Ursache gesundheitlicher Störungen ist; es genügt, dass das schädigende Ereignis zusammen mit anderen Bedingungen die körperliche oder geistige Integrität der versicherten Person beeinträchtigt hat, der Unfall mit andern Worten nicht weggedacht werden kann, ohne dass auch die eingetretene gesundheitliche Störung entfiele (BGE 129 V 177 E. 3.1, 402 E. 4.3.1, 119 V 335 E. 1, 118 V 286 E. 1b, je mit Hinweisen).

3.3 Ob zwischen einem schädigenden Ereignis und einer gesundheitlichen Störung ein natürlicher Kausalzusammenhang besteht, ist eine Tatfrage, worüber die Verwaltung, beziehungsweise im Beschwerdefall das Gericht im Rahmen der ihm obliegenden Beweiswürdigung, nach dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu befinden hat. Die blosse Möglichkeit eines Zusammenhangs genügt für die Begründung eines Leistungsanspruches nicht (BGE 129 V 177 E. 3.1, 119 V 335 E. 1, 118 V 286 E. 1b, je mit Hinweisen).

3.4.1 Zur Abklärung medizinischer Sachverhalte – wie der Feststellung natürlicher Kausalzusammenhänge im Bereich der Medizin – ist die rechtsanwendende Behörde regelmässig auf Unterlagen angewiesen, die ihr vorab von Ärztinnen und Ärzten zur Verfügung zu stellen sind (BGE 122 V 158 f. E. 1b mit zahlreichen weiteren Hinweisen). Das Gericht hat die medizinischen Unterlagen nach dem für den Sozialversicherungsprozess gültigen Grundsatz der freien Beweiswürdigung (vgl. Art. 61 lit. c ATSG) – wie alle anderen Beweismittel – frei, d.h. ohne Bindung an förmliche Beweisregeln, sowie umfassend und pflichtgemäss zu würdigen. Dies bedeutet, dass das Sozialversicherungsgericht alle Beweismittel, unabhängig, von wem sie stammen, objektiv zu prüfen und danach zu entscheiden hat, ob die verfügbaren Unterlagen eine zuverlässige Beurteilung des streitigen Rechtsanspruchs gestatten. Insbesondere darf es bei einander widersprechenden medizinischen Berichten den Prozess nicht erledigen, ohne das gesamte Beweismaterial zu würdigen und die Gründe anzugeben, warum es auf die eine und nicht auf die andere medizinische These abstellt. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist demnach entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Darlegung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen der Expertin oder des Experten begründet sind (BGE 134 V 232 E. 5.1; 125 V 352 E. 3a, 122 V 160 E. 1c).

3.4.2 Zu ergänzen ist, dass bei Entscheiden gestützt ausschliesslich auf versicherungsinterne ärztliche Beurteilungen, die im Wesentlichen oder ausschliesslich aus dem Verfahren vor dem Sozialversicherungsträger stammen, an die Beweiswürdigung strenge Anforderungen zu stellen sind: Bestehen auch nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der ärztlichen Feststellungen, ist eine versicherungsexterne medizinische Begutachtung im Verfahren nach Art. 44 ATSG oder ein Gerichtsgutachten anzuordnen (BGE 135 V 465 E. 4., 122 V 157 E. 1d).

4.1 Zur Beurteilung der Frage der Kausalität zwischen dem Unfallereignis vom 10. Oktober 2015 und dem geklagten Schwankschwindel liegen im Wesentlichen die folgenden medizinischen Unterlagen vor:

4.2 Im Bericht des Kantonsspitals C.____ vom 5. Februar 2016 wurde ein Schwankschwindel unklarer Ätiologie diagnostiziert. Hinweise für eine peripher-vestibuläre Funktionsstörung würden nicht vorliegen. Das anamnestisch seit gut zehn Tagen konstant vorhandene Leiden sei am ehesten zervikogenen Ursprungs, differentialdiagnostisch stressinduziert bei aktueller beruflicher Belastungssituation und Vorbereitung der eigenen Hochzeit.

4.3 Am 1. März 2016 hielt der behandelnde Arzt Dr. B.____ fest, dass sich die Versicherte am 3. Februar 2016 wegen eines Schwankschwindels bei ihm gemeldet habe. Es bestehe möglicherweise ein Zusammenhang mit dem Unfall.

4.4 Am 4. Mai 2016 bezeichnete der Konsiliararzt Dr. med. Jürg D.____, FMH Allgemeine Innere Medizin, den Schwindel als unfallfremd. Es bestünde kein objektivierbarer struktureller traumatischer Schaden. Die lange Latenz zwischen dem Schaden und dem erstmaligen Auftreten der Beschwerden spreche gegen die Unfallkausalität.

4.5 Am 9. Juni 2016 hielt der behandelnde Arzt Dr. med. E.____, FMH Angiologie und Allgemeine Innere Medizin, fest, die Versicherte leide seit dem Unfall an Nackenverspannungen und Schwindelanfällen. Da die Versicherte noch nie über derartige Beschwerden geklagt habe und der Autounfall als einzige auslösende Komponente zu nennen sei, seien die Beschwerden klar auf den Unfall vom 10. Oktober 2015 zurückzuführen. Die Tatsache, dass sich die Versicherte anfänglich selber verarztete und erst vorstellig wurde, als es wirklich nicht mehr gegangen sei, spreche ebenfalls für das Vorliegen eines Schleudertraumas, welches typischerweise in dieser progredienten Art ablaufe.

5. Die Beschwerdegegnerin stützte sich bei der Beurteilung des medizinischen Sachverhalts bzw. der Frage nach der Unfallkausalität vollumfänglich auf die Ausführungen ihres beratenden Arztes Dr. D.____ vom 4. Mai 2016 (vgl. E. 4.4 hiervor). Sie ging demzufolge davon aus, dass der geklagte Schwankschwindel mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nicht auf das Unfallereignis vom 10. Oktober 2015 zurückzuführen sei. Diese Beurteilung ist nachvollziehbar und einleuchtend. In Anbetracht der Tatsache, dass aufgrund der vorliegenden medizinischen Unterlagen keine Hinweise auf einen objektivierbaren traumatischen Gesundheitsschaden bestehen und der geklagte Schwankschwindel aus fachärztlicher Sicht (vgl. E. 4.2 hiervor) am ehesten einen zervikogenen Ursprung hat resp. differentialdiagnostisch stressinduziert ist, bestehen keine Anhaltspunkte dafür, dass dieses Leiden durch den Unfall vom 10. Oktober 2015 ausgelöst worden ist. Daran vermögen auch die Einschätzungen der behandelnden Ärzte nichts zu ändern, zumal Dr. B.____ seine Vermutung eines Kausalzusammenhangs (vgl. E. 4.3 hiervor) medizinisch nicht begründet und die Argumentation im Bericht von Dr. E.____ vom 9. Juni 2016, wonach die Versicherte vor dem Unfall nie über derartige Beschwerden geklagt habe, auf die Beweismaxime "post hoc ergo propter hoc" hinausläuft. Diese ist aber unfallmedizinisch nicht haltbar und beweisrechtlich nicht zulässig, sofern der Unfall – wie hier – keine strukturellen Läsionen an der Wirbelsäule und namentlich keine Wirbelkörperfrakturen verursacht hat (vgl. Urteil des Bundesgerichts vom 21. September 2011, 8C_396/2011, E. 5.2 mit weiteren Hinweisen). Im Übrigen findet dessen Behauptung, die Versicherte leide seit dem Unfall an Nackenverspannungen und Schwindelanfällen, in den vorliegenden medizinischen Akten keine Stütze, waren die Beschwerden doch erst mit erheblicher Latenz zum Unfalldatum aufgetreten. Schliesslich müsste eine Verletzung im Sinne der Schleudertrauma-Praxis ohnehin ausgeschlossen werden, da innert der ersten 24 bis 72 Stunden nach dem Unfall nicht die zum sogenannten typischen Beschwerdebild dieser Verletzung gehörenden Symptome (diffuse Kopfschmerzen, Schwindel, Konzentrations- und Gedächtnisstörungen, Übelkeit, rasche Ermüdbarkeit, Visusstörungen, Reizbarkeit, Schlafstörungen, Affektlabilität, Depression, Wesensveränderungen usw., vgl. BGE 117 V 359 E. 4b; SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2) auftraten.

6. Nach dem Gesagten ist gestützt auf die überzeugende Beurteilung des beratenden Arztes Dr. D.____ vom 4. Mai 2016 mit überwiegender Wahrscheinlichkeit davon auszugehen, dass zwischen dem Unfallereignis vom 10. Oktober 2015 und dem geklagten Schwankschwindel kein natürlicher Kausalzusammenhang besteht. Demnach ist nicht zu beanstanden, dass die Beschwerdegegnerin die Übernahme von Versicherungsleistungen für die Folgen des Unfallereignisses vom 10. Oktober 2015 abgelehnt hat. Die gegen den betreffenden Einspracheentscheid vom 25. August 2016 erhobene Beschwerde erweist sich als unbegründet, weshalb sie abgewiesen werden muss, soweit darauf eingetreten werden kann.

7. Art. 61 lit. a ATSG bestimmt, dass das Beschwerdeverfahren vor dem kantonalen Gericht für die Parteien kostenlos zu sein hat. Es sind deshalb für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben. Die ausserordentlichen Kosten sind bei diesem Ausgang des Verfahrens wettzuschlagen.