A.                            Née en 1972, X. exerçait une activité lucrative à plein temps en qualité de [...] pour le compte de l'entreprise M. SA à […], lorsqu'en date du 6 décembre 2005, elle a été heurtée par la voiture de son époux et a subi une fracture de la clavicule et de l'omoplate gauches, une fracture du sternum, des vertèbres D10 à L1 et L2, une fracture du coccyx ainsi qu'une contusion de l'œil gauche. Comme elle était alors assurée auprès de la CNA contre les accidents professionnels et non professionnels, les frais de traitement à visée conservatrice ainsi que les incapacités de travail subséquentes par le versement d’indemnités journalières ont été pris en charge par cet assureur LAA. Mise en arrêt de travail complet, l'assurée n'a plus repris son activité et a finalement été licenciée par son employeur. L'évolution de son état de santé, sur le plan orthopédique, a été marquée par l'évocation de douleurs, décrites comme chroniques et continues au niveau de la colonne dorso-lombaire. Du 11 au 26 juillet 2006, X. a séjourné à la Clinique romande de réadaptation (ci-après : CRR) de Sion. Il résulte du bilan multidisciplinaire de la CRR qu’'une reprise de travail à 50 % les premiers temps, dans une activité professionnelle légère ne nécessitant pas l'adoption de postures très contraignantes pour le dos et permettant l'alternance des positions assise et debout était possible. Dans un rapport du 4 octobre 2006, le Dr L., médecin traitant de l'intéressée et spécialiste FMH en médecine interne et maladies rhumatismales, à […] NE, a constaté que les fractures étaient bien consolidées mais qu’elles occasionnaient une cyphose dorsale basse secondaire, et a fait état d'une capacité résiduelle de travail de 50 % seulement dans une activité adaptée. Le 11 octobre 2006, le Dr P., spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil moteur et médecin-conseil auprès de la CNA (agence de [...] NE), a rédigé un rapport d'examen dans lequel il se rallie à l'appréciation susdite en retenant lui-aussi une capacité de travail à 50 % et, de surcroît, a invoqué une baisse de rendement globale de 25 % dans une future activité adaptée. Le 6 juin 2007, X. a été soumise à un bilan clinique, effectué par le Dr R., spécialiste FMH en chirurgie et médecin d'arrondissement auprès de la CNA, cette fois-ci à [...] VD. Ce praticien a conclu que rien ne s'opposait à ce que l'assurée travaille en plein dans une activité légère et autorisant de fréquents changements de position, sans qu'il y ait une baisse de rendement, et a estimé l’atteinte à l'intégrité à 15 %. A la demande de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après : OAI) et en vue d'une éventuelle réadaptation professionnelle, X. a suivi, du 27 août au 14 septembre 2007, un stage d'observation au Centre neuchâtelois d'intégration professionnelle à [...] NE. Ce stage, au vu des possibilités physiques limitées de l'intéressée, s'est soldé par des résultats insatisfaisants, écartant toute aptitude à l'exercice d'une formation. En raison de la perplexité générée par ces divers avis et des nouveaux renseignements fournis par le Dr L., d'une part, et de la capacité de travail exigible à 100 % de l'intéressée telle que fixée par le Dr R. le 6 juin 2007, d'autre part, la CNA a sollicité de ce dernier une nouvelle appréciation de l'état de santé de la patiente. Se prononçant sur pièces et en quelques lignes, ce médecin a considéré, selon communication du 15 octobre 2008, que "sur le plan traumatique, il n'y avait aucune raison pour que l'état de la patiente se soit aggravé depuis son examen du 6 juin 2007". Il a par contre laissé ouverte la question relative à de plus amples investigations au niveau psychique.

Par décision du 8 février 2010, l'assurée s'est vu nier le droit à une rente au motif que les séquelles accidentelles ne réduisaient pas sa capacité de gain de manière importante. Toutefois, reconnaissant l'existence d'une atteinte à l'intégrité correspondant à un taux de 15 %, la CNA lui a versé à ce titre une indemnité de 16'020 francs. S'appuyant sur un certificat médical du 16 mars 2010 du Dr L., X. s'est opposée à la décision précitée. Elle conteste pouvoir exercer à plein temps une activité professionnelle même non astreignante et relève, à cet effet, une contradiction entre, d'une part, les appréciations des Drs L. et P., lesquelles attestent d'une diminution de la capacité de travail dans une activité adaptée, et celles du Dr R., qui lui reconnaît une pleine capacité, d'autre part. En date du 3 mai 2010, ce dernier praticien a réalisé un nouvel examen clinique et a confirmé ses prises de position antérieures. En vue de lever toute incertitude relative à la capacité de travail exigible de la part de l'assurée, le dossier a été soumis par la CNA au Dr K., spécialiste FMH en chirurgie et orthopédie de la division médecine des assurances de la CNA à [...] LU, lequel a rendu, le 2 mai 2011, son appréciation de la question. Se fondant sur différentes études de la littérature médicale, il estime dans son rapport que l'assurée, qu’il n’a lui-même pas vue, est en mesure d'exercer une activité aux sollicitations physiques légères pour le moins, soit dans laquelle elle ne doit pas soulever et porter des charges excédant 10 kilos, voire moins s'il devait s'agir d'une activité à caractère répétitif; qu'elle doit éviter d'exécuter des travaux penchée en avant de façon prolongée, sollicitation qui pourrait être source de fatigue musculaire et de douleurs accrues du dos. Cela étant, la CNA sur la base de rapports d'enquêtes économiques (référencés sous DPT 3815, 3101, 6626, 9207 et 10085) a estimé qu'il existait, sur le marché général du travail, des emplois légers, adaptés aux séquelles accidentelles présentées par l'assurée, dans la mesure où ils n'impliquent pas le port de charges supérieures à 5 kilos et autorisent l'alternance des positions assise et debout. De telles places lui permettraient de réaliser un gain annuel moyen de 49'532 francs. Le 6 mai 2011, considérant que l'état de santé de son assurée ne présentait donc plus de réduction de sa capacité de travail dans une activité adaptée ni une invalidité lui ouvrant le droit à percevoir une rente d'invalidité LAA, la CNA a confirmé sa décision antérieure.

B.                            Par mémoire du 8 juin 2011, X. forme recours contre la décision précitée auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal. Elle invoque à la fois la violation du droit, y compris l'excès ou l'abus du pouvoir d'appréciation, ainsi qu'une constatation inexacte ou incomplète de faits pertinents. Elle conclut à l'annulation de la décision litigieuse et au renvoi du dossier à l'intimée pour que celle-ci procède à des investigations médicales complémentaires permettant d'établir la réelle capacité résiduelle de travail et de gain qui est la sienne. Elle conteste au surplus la comparaison des revenus avec ou sans invalidité effectuée par la CNA et estime que sa perte de gain dépassant 10 % elle a droit à une rente.

Elle sollicite de plus la reconduction, au niveau judiciaire, de l’assistance administrative qui lui a été accordée par la CNA antérieurement.

C.                            Par mémoire de réponse du 3 août 2011, la CNA a conclu au rejet du recours et renvoyé pour le surplus aux considérants de sa décision sur opposition.

C O N S I D E R A N T

en droit

1.                            Interjeté dans les formes et délai légaux, auprès du tribunal compétent (art. 57 et 60 LPGA, art. 47 OJN), le recours est recevable.

2.                            L'objet du litige porte sur le droit de la recourante au versement d'une rente d'invalidité, et plus particulièrement, sur la capacité de travail encore exigible de sa part. L’indemnité versée pour atteinte à l’intégrité n’est pas contestée par la recourante.

3.                            a) Aux termes de l'article 18 al. 1 LAA, si l'assuré est invalide à 10 % au moins par suite d'un accident, il a droit à une rente d'invalidité. Est réputée invalidité l'incapacité de gain totale ou partielle qui est présumée permanente ou de longue durée (art. 8 al. 1 LPGA). Est réputée incapacité de gain toute diminution de l'ensemble ou d'une partie des possibilités de gain de l'assuré sur un marché du travail équilibré dans son domaine d'activité, si cette diminution résulte d'une atteinte à sa santé physique, mentale ou psychique et qu'elle persiste après les traitements et les mesures de réadaptation exigibles (art. 7 al. 1 LPGA). Seules les conséquences de l'atteinte à la santé sont prises en compte pour juger de la présence d'une incapacité de gain. De plus, il n'y a incapacité de gain que si celle-ci n'est pas objectivement surmontable (art. 7 al. 2 LPGA). Est réputée incapacité de travail toute perte, totale ou partielle, de l'aptitude de l'assuré à accomplir dans sa profession ou son domaine d'activité le travail qui peut raisonnablement être exigé de lui, si cette perte résulte d'une atteinte à sa santé physique, mentale ou psychique. En cas d'incapacité de travail de longue durée, l'activité qui peut être exigée peut aussi relever d'une autre profession ou d'un autre domaine d'activité (art. 6 LPGA). Pour évaluer le taux d'invalidité, le revenu que l'assuré aurait pu obtenir s'il n'était pas invalide est comparé avec celui qu'il pourrait obtenir en exerçant l'activité qui peut raisonnablement être exigé de lui après les traitements et les mesures de réadaptation, sur un marché du travail équilibré (art. 16 LPGA).

b) Si l'invalidité est une notion juridique fondée sur des éléments d'ordre essentiellement économique, il ne convient pas moins d'examiner d'abord l'incapacité de travail telle qu'elle a été fixée par les médecins. En effet, pour pouvoir calculer le degré d'invalidité, l'administration, ou le juge s'il y a eu recours, a besoin de renseignements que seul le médecin est à même de lui fournir. La tâche de ce dernier consiste à porter un jugement sur l'état de santé et à indiquer dans quelle mesure et pour quelles activités l'assuré est capable ou incapable de travailler. En outre, les données fournies par le médecin constituent un élément utile pour déterminer quels travaux on peut encore, raisonnablement, exiger de l'assuré (ATF 125 V 256 cons. 4, 115 V 133 cons. 2, 114 V 310 cons. 3c).

c) Selon une jurisprudence constante, lorsque des expertises confiées à des médecins indépendants sont établies par des spécialistes reconnus, sur la base d'observations approfondies et d'investigations complètes, ainsi qu'en pleine connaissance du dossier et que les experts aboutissent à des résultats convaincants, le juge ne saurait les écarter aussi longtemps qu'aucun indice concret ne permet de douter de leur bien-fondé. En présence d'avis médicaux contradictoires, le juge doit apprécier l'ensemble des preuves à disposition et indiquer les motifs pour lesquels il se fonde sur une appréciation plutôt que sur une autre. A cet égard, l'élément décisif pour apprécier la valeur probante d'une pièce médicale n'est en principe ni son origine, ni sa désignation sous la forme d'un rapport ou d'une expertise, mais bel et bien son contenu. Il importe, pour conférer pleine valeur probante à un rapport médical, que les points litigieux importants aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées par la personne examinée, qu'il ait été établi en pleine connaissance de l'anamnèse, que la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale soient claires et enfin que les conclusions de l'expert soient dûment motivées (ATF 125 V 351 cons. 3a, 122 V 157 cons. 1c; RAMA 1996 no U 256, p.215 cons. 4; arrêt non publié du TA du 18.05.2010 [TA.2008.422]).

Il y a lieu d'attacher plus de poids à l'opinion motivée d'un expert qu'à l'appréciation de l'incapacité de travail par le médecin traitant dans la mesure où celui-ci est généralement enclin, en raison de la relation de confiance qui l'unit à son patient, à prendre parti pour lui en cas de doute (ATF 125 V 351 cons. 3b/cc et les références citées; arrêt du Tribunal fédéral non publié du 12.06.2007 [4A 45/2007] cons. 5.1 in fine). On ajoutera que les rapports établis par les médecins internes à l'assureur social n'ont pas la même valeur probante qu'une expertise recueillie, en application de l'article 44 LPGA, auprès d'un spécialiste externe ou qu'une expertise judiciaire. Ils doivent cependant être pris en considération. Mais en l'absence d'une expertise externe, s'il existe un doute, même faible, sur leur fiabilité et leur pertinence, il conviendra d'ordonner des investigations complémentaires (ATF 135 V 465 cons. 4; ATF 122 V 157 cons. 1d; cf. aussi arrêts du TF du 12.02.2010 [8C_758/2009] cons. 3.2, du 03.02.2010 [8C_889/2009] cons. 4.2 et du 02.02.2010 [8C_702/2009] cons. 4.3).

d) En matière d'appréciation des preuves, le juge doit examiner objectivement tous les documents à disposition, quelle que soit leur provenance, puis décider s'ils permettent de porter un jugement valable sur le droit litigieux. Il ne peut écarter un rapport médical au seul motif qu'il est établi par le médecin interne d'un assureur social, respectivement par le médecin traitant ou l'expert privé de la personne assurée, sans examiner autrement sa valeur probante. Dans une procédure portant sur l'octroi ou le refus de prestations d'assurances sociales, le Tribunal fédéral a précisé que lorsqu'une décision administrative s'appuie exclusivement sur l'appréciation d'un médecin interne à l'assureur social et que l'avis d'un médecin traitant ou d'un expert privé auquel on peut également attribuer un caractère probant laisse subsister des doutes suffisants quant à la fiabilité et la pertinence de cette appréciation, la cause ne saurait être tranchée en se fondant sur l'un ou sur l'autre de ces avis et il y a lieu de mettre en œuvre une expertise par un médecin indépendant selon la procédure de l'article 44 LPGA ou une expertise judiciaire (ATF 135 V 465; arrêts du TF des 30.11.2010 [8C_149/2010] cons. 5 et 13.09.2010 [8C_85/2010] cons. 6.1; arrêts de la CDP des 26.01.2012 [CDP.2010.273] et non publié du 11.05.2011 [CDP.2010.86]). Dans ses arrêts du 25 janvier 2012 [9C_976/2011] et 15 févier 2012 [9C_941/2011], le Tribunal fédéral a en outre précisé que les tribunaux cantonaux des assurances sociales n’avaient pas l’obligation de mettre en œuvre une expertise judiciaire lorsque le cas pouvait être renvoyé à l’assureur social pour un simple complément d’instruction ou lorsque l’assureur social n’avait pas du tout instruit certaines questions litigieuses, une telle décision n’étant par ailleurs pas sujette à recours immédiat, en l'absence de préjudice irréparable et de possibilité d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse. En principe toutefois et au regard de la jurisprudence antérieure, il n'y a pas de droit inconditionnel à une expertise neutre et multidisciplinaire.

4.                            En l’espèce, alors que le Dr R. considère que X. est en mesure d'exercer à plein temps une activité adaptée légère autorisant de fréquents changements de position, celle-ci conteste pouvoir exercer en plein toute activité professionnelle, même non astreignante et que ses capacités de travail et de gain atteignent 50 %. Elle relève que la décision sur opposition a été, pour l'essentiel, rendue sur la base de l'avis du médecin d'arrondissement de [...] VD de l’intimée, que ce choix a été ultérieurement motivé en reprenant les considérations émises sur dossier seulement, par le Dr K. de la division médecine des assurances de la CNA, lequel n'a lui-même fait que reprendre des données statistiques en se basant sur la littérature médicale ou paraphraser l'appréciation antérieure du médecin d'arrondissement. Ces rapports étant en totale contradiction avec ceux du médecin traitant et celles du propre médecin-conseil d’arrondissement de [...] NE de l’intimée, il incomberait dès lors, selon la recourante, à l’Autorité de céans de nier la valeur probante des rapports médicaux des Drs R. et K., tous deux médecins de la CNA, et de renvoyer le dossier à l’assureur pour qu’il mette en œuvre une expertise multidisciplinaire neutre, ce d’autant que la question des problèmes psychiques de la recourante, mentionnés médicalement plusieurs fois au dossier, n’ont fait l’objet d’aucune investigation.

5.                            Les rapports médicaux du Dr R. établis les 6 juin 2007 et 3 mai 2010, sur lesquels se fondent la CNA et le Dr K., dans son avis médical établi après opposition de l’assurée aboutissent, malgré l'espace de temps écoulé, à la même conclusion. A l'occasion du dernier bilan clinique ayant conduit à l'établissement de son deuxième rapport, le Dr R. a examiné cette fois personnellement la patiente et a procédé à des examens suscitant la mobilité rachidienne, tout en pratiquant de nouvelles radiographies de la colonne dorso-lombaire. Il ressort dudit rapport que la patiente présente des douleurs continues même si elle va mieux, que la mobilité rachidienne est conservée et s'effectue tout-à-fait harmonieusement sans douleurs notables et qu'aucune évolution significative n'a eu lieu par rapport à la situation qui prévalait 3 ans plus tôt. Ce praticien mentionne l'information du Dr L. selon laquelle un état dépressif réactionnel de l'intéressée venait compliquer son évolution, mais déclare que "le 15.10.2008, […] il n'y avait aucune raison sur le plan traumatique pour que l'état de la patiente se soit aggravé depuis [l'] examen du 06.06.2007, précisant qu'il pouvait en aller différemment sur le plan psychique et qu'il appartenait [au] service administratif [de la CNA] de savoir s'il souhaitait instruire plus avant cet aspect des choses", avant de conclure qu'il serait possible "[…] d'évoquer une surcharge psychogène mais [qu'] il est peu probable qu'un diagnostic psychiatrique, justifiant une incapacité de travail, puisse être retenu". A aucun moment cependant, il n'est fait état dans ces rapports des raisons ayant conduit le Dr R. à ne pas retenir la même capacité de travail que ses confrères, pas plus que des motifs médicaux l'ayant guidé à conclure à une capacité de travail à 100 % dans une activité adaptée.

S'agissant du rapport du Dr K. du 2 mai 2011, certains éléments fondant sa position, paraissent tout autant justifier les griefs de la recourante. En effet, l'appréciation de ce praticien, - dont les compétences professionnelles ne sauraient par ailleurs être mises en cause -, se base essentiellement sur une analyse approfondie de la littérature médicale en la matière et sur les données statistiques qui en découlent, en particulier. Ce médecin parvient à la conclusion que dans la majorité des cas d’accidentés victimes de lésions similaires à celles de la recourante, une reprise du même travail et à plein temps, après 3 à 5 ans a été possible. Dans 20 à 30 % des cas, le taux d’activité a dû être réduit, un changement d’occupation a dû être opéré ou il n’y a eu aucune reprise d’activité. Parmi cette minorité, nombre d’accidentés se plaignent de douleurs résiduelles plus ou moins violentes, dont l’existence n’est ni contestable ni contestée mais dont l’origine somatique est difficilement décelable. Dans le cas d’espèce, la patiente n'a pas été vue personnellement ni observée cliniquement par le Dr K.; les seules véritables considérations objectives relevant de cet ordre, sur lesquels il s’appuie, ressortent des avis antérieurs du Dr R. Par ailleurs, le rapport en question ne précise pas en quoi X. ferait ou non partie de la majorité désignée par les statistiques qu’il retient, pas plus que des exceptions qui existent pour la minorité retenue par ces études scientifiques. De surcroît, le Dr K. n'indique pas les motifs qui l'ont amené à privilégier l'avis du Dr R. par rapport aux autres avis au dossier, lesquels parviennent à la conclusion que la recourante dispose d'une capacité résiduelle de travail de 50 % seulement, en 2006 comme en 2010. Il ne relate pas non plus les plaintes de la recourante.

Or les deux spécialistes dont la CNA privilégie les avis ont eu connaissance complète du dossier médical de la recourante et se sont fondés sur un état de fait identique à celui de leurs confrères. On ne peut en conséquence que relever, sans qu’elle ne soit explicitée, qu’une importante discordance entre les avis des Drs L. et P. d’une part, ceux des avis des Drs R. et K. d’autre part, subsiste en l’espèce. Soutenir par ailleurs, comme le fait l’intimée, que le rapport de la CRR accréditerait une amélioration prévisible de la capacité de travail de la recourante relève de la pure conjecture et du plaidoyer pro domo, le pronostic à long terme du CRR étant plutôt défavorable.

6.                            La recourante allègue en conséquence à juste titre que la contrariété entre les divers renseignements médicaux figurant au dossier, associée à ses plaintes, et le fait qu'elle n'a pas été en mesure de reprendre l'exercice d'une quelconque activité professionnelle, auraient dû conduire l'intimée à mettre en œuvre une expertise pluridisciplinaire, intégrant également une appréciation psychiatrique même si, en l'espèce, le Dr R., qui réservait une telle possibilité, soulignait qu’une telle démarche risquait de s'avérer peu pertinente pour la résolution du litige en cause.

Dans une note interne du 25 juin 2008, le référent CNA de l'intéressée mentionne en effet qu'il est constaté que X. est également traitée pour des troubles dépressifs. Le 3 juillet 2009, celui-là observe que "[... la recourante] n'est plus suivie depuis pas mal de temps par le centre psychosocial et que c'est le Dr L. qui lui renouvelle la prescription de l'antidépresseur qu'elle prend toujours régulièrement". Au vu du dossier toutefois, force est de constater qu'aucune investigation d'ordre psychique n'a été mise en œuvre par l'intimée.

Seul le Dr L. en fait état mais celle-ci n'est pas psychiatre Dès lors la question de déterminer si, en l'espèce, une expertise psychiatrique peut s'avérer pertinente à la résolution du litige alors que les médecins-psychiatres du centre psychosocial n’ont pas été appelés à préciser pour quels motifs ils auraient semble-t-il jugé utile de mettre un terme au traitement de la recourante, si ce n’est la délivrance de médicaments par le médecin traitant, ne peut être tranchée sur la base du dossier. C’est dès lors à juste titre aussi que la recourante reproche à la CNA de ne pas avoir procédé à des investigations plus poussées en matière psychiatrique, malgré les réserves précitées du Dr R. et de ne s’être même pas prononcée sur la question, sans la moindre des investigations.

Cela étant, avec la recourante, il faut bien admettre que les rapports au dossier pèchent par leur manque de clarté sur les raisons qui ont conduit les médecins de la CNA à exclure toute incapacité de travail chez l'assurée, de sorte que la nécessité de mettre en œuvre une expertise n'apparaît pas discutable au vu des divergences apparues. La mise en œuvre d'une instruction complémentaire sur le volet psychiatrique du cas si nécessaire par un médecin indépendant ou dans le cadre d'une expertise pluridisciplinaire ne prête pas non plus flanc à la critique. Il n'appartenait en effet pas au Dr R., comme il le relève d'ailleurs, de se prononcer sur cette question, sa tâche consistant exclusivement à porter un jugement sur l'état de santé physique de la recourante et ses conséquences sur la capacité de travail.

L'existence de troubles dépressifs, voire l'existence d'un syndrome douloureux somatoforme persistant, soit la reconnaissance de l'existence d'une atteinte à la santé psychique, suppose en effet la présence d'un diagnostic émanant d'un psychiatre qui s'appuie lege artis sur les critères d'un système de classification reconnu (ATF 130 V 396 cons. 5.3 et 6). Or ces éléments sont totalement absents du dossier.

L'instruction devra dès lors être complétée sur ces deux questions par la CNA, à laquelle le dossier sera renvoyé en ce sens.

7.                            X. émet au surplus plusieurs griefs subséquents relatifs à la détermination de la perte économique subie effectuée par la CNA. Ses allégués, ici non plus, ne paraissent pas dépourvus de pertinence. Il paraît peu admissible qu’un assureur social investi de tâches de droit public justifie une différence de 500 francs dans un salaire retenu dans une DTP de référence, sur la base d’une seule notice téléphonique émanant de ses propres services. Ces questions peuvent toutefois rester ouvertes en l’espèce, vu le renvoi du dossier à l’intimée pour complément d’instruction.

8.                            L'assurée qui obtient gain de cause a droit à des dépens pleins et entiers, à charge de l'intimée (art. 61 let. g LPGA). Le montant du remboursement de ses frais et débours est fixé par le tribunal et déterminé sans égard à la valeur litigieuse, d'après l'importance et la complexité du litige (art. 61 let. g LPGA). Ceux-ci doivent être définis dans les limites prévues par l'arrêté temporaire du Conseil d'Etat, du 22 décembre 2010, fixant les tarifs des frais, des émoluments de chancellerie et des dépens en matière civile, pénale et administrative (art. 49 al. 2 de l'arrêté). Le mandataire de l'assurée n'ayant pas déposé de mémoire d'honoraires et des frais (art. 55 al. 1 de l'arrêté), la présente Autorité fixera en conséquent les dépens sur la base du dossier (al. 2). L'activité déployée par le mandataire peut être évaluée à 6 heures. Eu égard au tarif usuellement appliqué par la Cour de céans, de l'ordre de 250 francs de l'heure (CHF 1'500.00), des débours à raison de 10 % des honoraires (CHF 150.00, art. 54 de l'arrêté) et de la TVA (au taux de 8 %, les activités ayant été déployées après le 01.01.2011, soit CHF 132.00), l'indemnité de dépens doit être fixée à 1'782 francs, débours et TVA compris.

En dernier lieu, la recourante a requis au niveau judiciaire la prolongation de l’assistance administrative qui lui a été accordée par l’intimée en application de l'article 37 al. 4 LPGA (61 let. f LPGA), A l'appui de cette demande, elle a produit une nouvelle attestation de l'aide sociale du 16 mars 2010 qui établit clairement qu’elle n’est pas en mesure de s’acquitter de frais de procédure ou de mandataire privé. L’assistance judiciaire, dans ces conditions, doit lui être formellement accordée et Me S. désigné comme mandataire d’office, la rémunération du mandataire par l’Etat et au tarif de l’assistance judiciaire (art. 46 ss de l'arrêté) ne devant toutefois intervenir que si les dépens alloués n’étaient pas payés (art. 122 CPC, par renvoi de l'art. 60i LPJA), ce qui paraît peu vraisemblable de la part d’une assurance sociale.

Par ces motifs,
la Cour de droit public

1.    Admet le recours.

2.    Annule les décisions des 6 mai 2011 et 8 février 2010 de l’intimée.

3.    Renvoie le dossier à l’intimée pour complément d’instruction au sens des considérants.

4.    Accorde à la recourante l’assistance judiciaire requise et désigne Me S. comme mandataire d’office.

5.    Condamne l’intimée à verser à la recourante une indemnité de dépens (honoraires, débours et TVA compris) de 1'782 francs.

6.    Statue sans frais.

Neuchâtel, le 21 août 2012

Art. 18 LAA

Invalidité

¹ Si l’assuré est invalide (art. 8 LPGA¹) à 10 % au moins par suite d’un accident, il a droit à une rente d’invalidité.²

² Le Conseil fédéral règle l’évaluation du degré de l’invalidité dans des cas spéciaux. Il peut à cette occasion déroger à l’art. 16 LPGA.³

¹ RS 830.1
² Nouvelle teneur selon le ch. I de l’O de l’Ass. féd. du 21 juin 2002, en vigueur depuis le 1^er janv. 2003 (RO 2002 3453; FF 2002 763).
³ Nouvelle teneur selon le ch. 12 de l’annexe à la LF du 6 oct. 2000 sur la partie générale du droit des assurances sociales, en vigueur depuis le 1^er janv. 2003 (RO 2002 3371; FF 1991 II 181 888, 1994 V 897, 1999 4168).

Art. 7¹ LPGA

Incapacité de gain

¹ Est réputée incapacité de gain toute diminution de l’ensemble ou d’une partie des possibilités de gain de l’assuré sur un marché du travail équilibré dans son domaine d’activité, si cette diminution résulte d’une atteinte à sa santé physique, mentale ou psychique et qu’elle persiste après les traitements et les mesures de réadaptation exigibles.

² Seules les conséquences de l’atteinte à la santé sont prises en compte pour juger de la présence d’une incapacité de gain. De plus, il n’y a incapacité de gain que si celle-ci n’est pas objectivement surmontable.²

¹ Nouvelle teneur selon le ch. 2 de l’annexe à la LF du 21 mars 2003 (4^e révision AI), en vigueur depuis le 1^er janv. 2004 (RO 2003 3837; FF 2001 3045).
² Introduit par le ch. 2 de l’annexe à la LF du 6 oct. 2006 (5^e révision AI), en vigueur depuis le 1^er janv. 2008 (RO 2007 5129; FF 2005 4215).

Art. 8 LPGA

Invalidité

¹ Est réputée invalidité l’incapacité de gain totale ou partielle qui est présumée permanente ou de longue durée.

² Les assurés mineurs sans activité lucrative sont réputés invalides s’ils présentent une atteinte à leur santé physique, mentale ou psychique qui provoquera probablement une incapacité de gain totale ou partielle.¹

³ Les assurés majeurs qui n’exerçaient pas d’activité lucrative avant d’être atteints dans leur santé physique, mentale ou psychique et dont il ne peut être exigé qu’ils en exercent une sont réputés invalides si l’atteinte les empêche d’accomplir leurs travaux habituels. L’art. 7, al. 2, est applicable par analogie.^{2 3}

¹ Nouvelle teneur selon le ch. 2 de l’annexe à la LF du 21 mars 2003 (4^e révision AI), en vigueur depuis le 1^er janv. 2004 (RO 2003 3837; FF 2001 3045).
² Phrase introduite par le ch. 2 de l’annexe à la LF du 6 oct. 2006 (5^e révision AI), en vigueur depuis le 1^er janv. 2008 (RO 2007 5129; FF 2005 4215).
³ Nouvelle teneur selon le ch. 2 de l’annexe à la LF du 21 mars 2003 (4^e révision AI), en vigueur depuis le 1^er janv. 2004 (RO 2003 3837; FF 2001 3045).

Art. 44 LPGA

Expertise

Si l’assureur doit recourir aux services d’un expert indépendant pour élucider les faits, il donne connaissance du nom de celui-ci aux parties. Celles-ci peuvent récuser l’expert pour des raisons pertinentes et présenter des contre-propositions.