A.                            X.________, née en 1973, ayant exercé en dernier lieu l’activité de collaboratrice dans une crèche, a déposé le 7 juin 2019 une demande de rente de l’assurance-invalidité en invoquant une incapacité de travail totale depuis le 2 mars 2019 en raison de ses atteintes à la santé existant depuis l'enfance (diabète, douleurs musculaires et articulaires – nuque, dos, épaules, mains, hanches, genoux, pieds –, névralgies, grande fatigue et troubles du sommeil). Elle a aussi mentionné une fibromyalgie diagnostiquée le 20 mai 2019. Dans le cadre de l’instruction, l’Office de l’assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après : OAI) a recueilli des informations auprès des médecins traitants (courrier du 14.06.2019, rapports médicaux des 13.08.2019 et 30.10.2020 de la Dre A.________, médecin généraliste traitante; courriers des 30.04 et 20.05.2019, rapports médicaux des 06.08.2019 et 29.10.2020 de la Dre B.________, spécialiste des maladies rhumatismales; rapports médicaux des 24.06.2020 et 31.03.2021 de la Dre C.________, psychiatre-psychothérapeute traitante; rapport du 24.03.2020 du Service de rhumatologie du CHUV). Procédant à l’appréciation du dossier, le Service médical régional de l’assurance-invalidité (ci-après : SMR) a constaté une situation avec les diagnostics rapportés de fibromyalgie et de trouble de personnalité anankastique et a dès lors proposé une expertise pluridisciplinaire en médecine interne, rhumatologie et psychiatrie. L’OAI a ainsi confié la réalisation d’une telle expertise à SMEX SA Swiss Medical Expertise (ci-après : SMEX). Dans leur rapport du 11 février 2022 , les experts (Dre D.________, médecine interne; Dr E.________, psychiatrie; Dr F.________, rhumatologie) ont retenu de manière consensuelle les diagnostics suivants avec incidence sur la capacité de travail : syndrome d’hypermobilité associé à une fibromyalgie, syndrome sous-acromial gauche avec calcification tendineuse du sus-épineux, chondropathie fémoro-patellaire gauche, diabète non insulino dépendant de type 2, trouble hyperkinétique (F90.0) et perturbation de l’attention sans hyperactivité. Ils ont retenu une capacité de travail de 80 % (activité à 100 % avec baisse de rendement de 10 % pour cause de difficultés d’attention et de concentration et de 10 % en raison des pauses nécessaires au contrôle, à la prise de médicaments ou encore à l’alimentation liés au diabète) dans une activité adaptée (ne nécessitant pas une grande vitesse d’exécution, n’exigeant pas des performances de plus en plus hautes et des objectifs à atteindre de plus en plus difficiles, permettant de ralentir la cadence en cas de fatigue, avec port de charges limité à 5 kilos, évitant la position à genou prolongée, les activités demandant une sécurité augmentée sur des échafaudages et des échelles, les activités demandant une posture non ergonomique qui surcharge l’ensemble des articulations, ainsi que les mouvements au-dessus de l’horizontale pour le membre supérieur gauche, permettant au moins 3 pauses par jour nécessaires au contrôle, à la prise de médicaments ou encore à l’alimentation liés au diabète). En particulier, l'expert-psychiatre, en prenant en compte un examen neuropsychologique (rapport du 17.12.2021 de G.________, psychologue spécialisée en neuropsychologie FSP et certifiée SIM) et les tests psychologiques (évaluation de la personnalité effectuée par H.________, psychologue spécialiste en psychologie clinique et en psychothérapie FSP) réalisés dans le cadre de l'expertise de SMEX, a posé le diagnostic, avec effet sur la capacité de travail, de trouble hyperkinétique (F90.0) et perturbation de l’attention sans hyperactivité; et sans effet sur la capacité de travail, de trouble spécifique de la lecture (F81.0) et de trouble spécifique du développement moteur (F82). Il a relevé que l'intéressée ne présente pas de plainte d'ordre psychiatrique, mis à part une fatigabilité et parfois des difficultés de concentration liées à la fatigue; qu'il n'y a pas eu de décompensations psychotiques ni de décompensations dépressives ayant nécessité un traitement à base de psychotropes; que les tests psychométriques effectués révèlent des difficultés au niveau de la concentration et de la mémoire mais que le bon potentiel intellectuel de l'assurée lui permet de mettre en place des stratégies efficaces pour s'adapter aux différentes situations professionnelles et quotidiennes; qu'un trouble de la personnalité de type anankastique est écarté car l'assurée s'organise non pas dans le cadre de manifestations de trouble de la personnalité mais plutôt pour lutter contre les douleurs et la faiblesse physique qu'elle doit surmonter au quotidien; qu'elle ne manifeste ni cliniquement ni anamnestiquement des manifestations obsessionnelles ou compulsives. L'expert a considéré que le diagnostic de trouble de la personnalité de type anankastique retenu par la Dre C.________ n'impacte pas la capacité de travail de l'assurée car il n'y a pas de dysfonctionnement relationnel ou une impossibilité d'effectuer des tâches professionnelles en lien avec ce trouble. Le SMR a reconnu pleine valeur probante à cette expertise de SMEX (rapport du 14.02.2022).

Par projet de décision du 25 février 2022, l'OAI a informé l'assurée de son intention de rejeter sa demande de rente, au motif que bien qu'une incapacité de travail totale subsiste dans l'activité de collaboratrice de crèche, elle bénéficie dès le 2 mars 2019 d'une pleine capacité de travail avec un rendement de 80 % dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles (activité physiquement légère sans position debout prolongée, sans travail à genou, ni sur échelle/échafaudage ni en position non ergonomique, avec port de charges limité à 5 kilos, permettant des pauses supplémentaires pour des collations principalement et des contrôles glycémiques 2 fois par jour durant un jour par semaine, à caractère routinier, sans trop grande pression ni exigence d'un travail à grande vitesse ni de performances de plus en plus hautes avec objectifs de plus en plus difficiles), entraînant une invalidité de 23 % après comparaison des revenus sans et avec atteinte à la santé, soit un taux inférieur au minimum de 40 % ouvrant le droit à une rente. L'assurée a manifesté son désaccord avec ce projet en déposant un courrier de la Dre C.________ du 5 avril 2022 qui conteste les conclusions de l'expert-psychiatre en s'appuyant sur les constatations retenues par H.________. Appelé à se prononcer sur ce courrier du 5 avril 2022, l'expert-psychiatre a maintenu ses conclusions (complément d'expertise du 30.05.2022), relevant que la Dre C.________ confirme le fonctionnement de l'assurée tel qu'observé lors de l'expertise et lors des tests psychométriques. Il souligne qu'il y a une fragilité et une vulnérabilité au stress sans décompensation psychiatrique le jour de l'examen clinique; que la personne assurée, grâce à ses bonnes capacités intellectuelles, a su s'adapter sur le plan psychique à son activité habituelle et peut continuer à travailler dans des milieux adaptés à son fonctionnement. Sur cette base, le SMR a maintenu ses conclusions du 14 février 2022 (avis médical du 02.06.2022). L'assurée s'est exprimée sur ces nouveaux documents et a maintenu ses critiques quant au caractère probant de l'expertise, faisant en particulier valoir son caractère laconique. Après que le SMR a relevé l'absence d'élément médical objectif concret nouveau que les experts n'auraient pas discuté, il a maintenu ses conclusions des 14 février et 2 juin 2022 (avis médical du 31.08.2022). Sur cette base, l'OAI a confirmé son préavis et a rejeté la demande de rente par décision du 5 septembre 2022.

B.                            X.________ recourt contre cette décision auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal en concluant à son annulation et au renvoi de la cause à l’OAI pour complément d’instruction. Elle conteste les conclusions de l'expertise psychiatrique et met en cause sa valeur probante en invoquant que l'expert-psychiatre a procédé à un examen superficiel et incomplet de la cause, en omettant de prendre en considération son historique médical ainsi que les constatations de la psychologue H.________, qui rejoignent celles faites par sa psychiatre traitante, Dre C.________. Elle sollicite la mise en place d’une expertise pluridisciplinaire pour déterminer sa capacité de travail. Elle demande l’assistance judiciaire.

C.                            L’OAI renonce à formuler des observations et conclut au rejet du recours.

C O N S I D E R A N T

en droit

1.                            Interjeté dans les formes et délai légaux, le recours est recevable.

2.                            Dans le cadre du "développement continu de l'AI", notamment la LAI, le RAI et la LPGA ont été modifiés avec effet au 1er janvier 2022 (RO 2021 705; FF 2017 2535). Compte tenu du principe de droit intertemporel selon lequel les dispositions légales applicables sont celles qui étaient en vigueur à l'époque à laquelle les faits juridiquement déterminants se sont produits (à cet égard, cf. notamment ATF 129 V 354 cons. 1), le droit applicable en l'espèce demeure celui qui était en vigueur jusqu'au 31 décembre 2021 dès lors que les faits sur lesquels se fonde la demande de rente sont antérieurs à cette date (ATF 144 V 210 cons. 4.3.1 et les références citées).

3.                            En vertu de l’article 4 al. 1 LAI, l’invalidité peut résulter d’une infirmité congénitale, d’une maladie ou d’un accident. Selon l'article 8 LPGA, est réputée invalidité l'incapacité de gain totale ou partielle qui est présumée permanente ou de longue durée. Est réputée incapacité de travail toute perte, totale ou partielle, de l'aptitude de l'assuré à accomplir dans sa profession ou son domaine d'activité le travail qui peut raisonnablement être exigé de lui, si cette perte résulte d'une atteinte à sa santé physique, mentale ou psychique. En cas d'incapacité de travail de longue durée, l'activité qui peut être exigée de lui peut aussi relever d'une autre profession ou d'un autre domaine d'activité (art. 6 LPGA). En vertu de l'article 7 al. 1 LPGA, est réputée incapacité de gain toute diminution de l'ensemble ou d'une partie des possibilités de gain de l'assuré sur un marché du travail équilibré dans son domaine d'activité, si cette diminution résulte d'une atteinte à sa santé physique, mentale ou psychique et qu'elle persiste après les traitements et les mesures de réadaptation exigibles. Seules les conséquences de l’atteinte à la santé sont prises en compte pour juger de la présence d’une incapacité de gain. De plus, il n’y a incapacité de gain que si celle-ci n’est pas objectivement surmontable (art. 7 al. 2 LPGA). L’assuré a droit à une rente s’il est invalide à 40 % au moins. Un taux d’invalidité de 40 % au moins donne droit à un quart de rente, un taux d’invalidité de 50 % au moins à une demi-rente, un taux de 60 % au moins à trois quarts de rente et un taux de 70 % au moins à une rente entière (art. 28 al. 2 LAI).

4.                            a/aa) Si l'invalidité est une notion juridique fondée sur des éléments d'ordre essentiellement économique, il ne convient pas moins d'examiner d'abord l'incapacité de travail telle qu'elle a été fixée par les médecins. En effet, pour pouvoir calculer le degré d'invalidité, l'administration, ou le juge s'il y a eu recours, a besoin de renseignements que seul le médecin est à même de lui fournir. La tâche de ce dernier consiste à porter un jugement sur l'état de santé et à indiquer dans quelle mesure et pour quelles activités l'assuré est capable ou incapable de travailler. En outre, les données fournies par le médecin constituent un élément utile pour déterminer quels travaux on peut encore, raisonnablement, exiger de l'assuré (ATF 140 V 193 cons. 3.2 et les références citées).

a/bb) L'assurance-invalidité, comme toute autre assurance, repose sur l'hypothèse que le risque assuré ne se réalise qu’exceptionnellement. Il en découle que l’assuré doit en principe être considéré comme étant en bonne santé et pouvant exercer une activité professionnelle (cf. ATF 141 V 281 cons. 3.7.2, selon lequel il faut en règle générale partir du principe de la "validité"), dès lors que la plupart des atteintes à la santé n'entraînent pas d'incapacité de travail durable, ainsi que cela est mis en évidence en considérant l’ensemble de l’éventail des maladies physiques et psychiques. Le droit à une rente d'invalidité suppose ainsi une atteinte à la santé. Le diagnostic d'une atteinte à la santé n’implique cependant pas encore qu’elle est invalidante. Le caractère invalidant d’une atteinte à la santé se détermine, selon le texte clair de la loi, d’après les conséquences de celle-ci sur la capacité de travail et de gain. Le point déterminant à cet égard est de savoir si, compte tenu des atteintes invoquées, il ne peut plus être exigé de l’assuré qu’il travaille encore, à temps plein ou à temps partiel. C'est pourquoi un examen objectif de l'exigibilité s'applique en tenant compte exclusivement des conséquences de l'atteinte à la santé, en partant du principe de la validité et en laissant à l’assuré le fardeau matériel de la preuve de l'invalidité (ATF 142 V 106 cons. 4.3 et 4.4).

b) En matière d'appréciation des preuves, le juge des assurances sociales doit, quelle que soit leur provenance, examiner l'ensemble des moyens de preuve de manière objective et décider s'ils permettent de trancher la question des droits litigieux de manière sûre. En particulier, le juge ne saurait statuer, en présence de rapports médicaux contradictoires, sans s'être penché sur toutes les preuves disponibles et sans indiquer les motifs qui le conduisent à retenir un avis médical plutôt qu'un autre. A cet égard, l'élément déterminant n'est ni l'origine, ni la désignation du moyen de preuve comme rapport ou expertise, mais son contenu. Il importe, pour conférer pleine valeur probante à un rapport médical, que les points litigieux importants aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées par la personne examinée, qu'il ait été établi en pleine connaissance du dossier (anamnèse), que la description des interférences médicales soit claire et, enfin, que les conclusions du praticien soient bien motivées (ATF 133 V 450 cons. 11.1.3, 125 V 351 cons. 3a et les références citées).

c) La jurisprudence a posé des lignes directrices en ce qui concerne la manière d'apprécier certains types de documents médicaux. Le juge procède à cette appréciation selon le principe de la libre appréciation des preuves selon les types de documents médicaux (ATF 125 V 351 cons. 3a; Riemer-Kafka [Edit.], Expertises en médecine des assurances, 3e éd., 2018, p. 31 ss).

c/aa) Selon une jurisprudence constante, lorsque des expertises confiées à des médecins indépendants sont établies par des spécialistes reconnus, sur la base d'observations approfondies et d'investigations complètes, ainsi qu'en pleine connaissance du dossier et que les experts aboutissent à des résultats convaincants, le juge ne saurait les écarter aussi longtemps qu'aucun indice concret ne permet de douter de leur bien-fondé (ATF 135 V 465 cons. 4.4, 122 V 157 cons. 1c et les références citées). Au vu de la différence entre un mandat thérapeutique et un mandat d’expertise, on ne saurait ainsi remettre en cause une expertise ordonnée par l'administration ou le juge et procéder à de nouvelles investigations du seul fait qu'un ou plusieurs médecins traitants ont une opinion contradictoire. ll n’en ira différemment que si ces derniers font état d’éléments objectivement vérifiables ayant été ignorés dans le cadre de l’expertise et qui sont suffisamment pertinents pour remettre en cause ses conclusions (Valterio, op. cit., ad art. 57 no 48).

c/bb) Concernant les SMR, ceux-ci évaluent, en vertu de l’article 49 al. 1 RAI et de l’article 59 al. 2bis LAI, les conditions médicales du droit aux prestations. Le sens et le but de ces dispositions est que les offices AI puissent recourir à leurs propres médecins pour évaluer les conditions médicales du droit aux prestations. Il est attendu de ceux-ci que, sur la base de leurs connaissances spéciales en médecine des assurances, ils établissent la capacité fonctionnelle des assurés déterminante en matière d’assurance-invalidité; il s’agit ainsi de créer une séparation conséquente des compétences des médecins traitants (traitement médical et thérapeutique) et de l’assurance sociale (détermination des effets de l’atteinte à la santé) (arrêt du TF du 03.09.2015 [9C_858/2014] cons. 3.3.2). En application des dispositions citées, les SMR désignent les activités exigibles ainsi que les fonctionnalités inexigibles. Les SMR sont libres dans le choix de la méthode d’examen appropriée, dans le cadre de leurs compétences médicales et des directives spécialisées de portée générale de l’Office fédéral. Selon une jurisprudence constante, les rapports réalisés par les SMR en vertu de l’article 49 al. 1 RAI (et 59 al. 2bis LAI) ont pour fonction d’opérer la synthèse des renseignements médicaux versés au dossier et de prodiguer des recommandations quant à la suite à donner au dossier sur le plan médical. Ils ne posent pas de nouvelles conclusions médicales mais portent une appréciation sur celles déjà existantes. Leur but est de résumer et de porter une appréciation sur la situation médicale. Ces rapports ne sont pas dénués de toute valeur probante et il est admissible que l'OAI se fonde de manière déterminante sur leur contenu. Il convient toutefois de poser des exigences strictes en matière de preuve; une expertise devra être ordonnée si des doutes, même faibles, subsistent quant à la fiabilité ou à la pertinence des constatations effectuées par le SMR (ATF 135 V 465 cons. 4.6).

c/cc) S’agissant des rapports établis par les médecins traitants, le juge peut et doit tenir compte du fait que selon l'expérience, le médecin traitant est généralement enclin, en cas de doute, à prendre parti pour son patient en raison de la relation de confiance et du rapport thérapeutique qui l'unissent à ce dernier (ATF 135 V 465 cons. 4.5, ATF 125 V 351 cons. 3a/cc). Cette constatation s'applique de même aux médecins non traitants ou spécialistes (expertises privées) consultés par un patient en vue d'obtenir un moyen de preuve à l'appui de sa requête (arrêt du TF du 29.10.2003 [I 321/03] cons. 3.1; Valterio, op. cit., ad art. 57 no 48). Il y a ainsi lieu d’attacher plus de poids à l’opinion motivée d’un expert qu’à l’appréciation de l’incapacité de travail par le médecin traitant. Toutefois, le simple fait qu'un certificat médical ou une expertise soient établis à la demande d'une partie et soient produits pendant la procédure ne justifie pas en soi de douter de sa valeur probante (ATF 125 V 351 cons. 3b/dd et les références citées).

5.                            a) Les atteintes à la santé psychique peuvent, comme les atteintes physiques, entraîner une invalidité au sens de l'article 4 al. 1 LAI en liaison avec l'article 8 LPGA. On ne considère pas comme des conséquences d'un état psychique maladif, donc pas comme des affections à prendre en charge par l'assurance-invalidité, les diminutions de la capacité de gain que l'assuré pourrait empêcher en faisant preuve de bonne volonté; la mesure de ce qui est exigible doit être déterminée aussi objectivement que possible (art. 7 al. 2, 2e phrase LPGA; ATF 141 V 281 cons. 3.7.1; cf. aussi ATF 127 V 294 cons. 4c in fine). La reconnaissance de l’existence d’une atteinte à la santé psychique suppose la présence d’un diagnostic émanant d’un expert (psychiatre) et s’appuyant selon les règles de l’art sur les critères d’un système de classification reconnu, tel le CIM ou le DSM-IV (ATF 143 V 409 cons. 4.5.2, ATF 141 V 281 cons. 2.2 et 3.2).

b) Selon la jurisprudence récente, tant les syndromes douloureux somatoformes persistants que toutes les autres affections psychiques – y compris les troubles dépressifs de degré léger ou moyen (ATF 143 V 409 cons. 4.5.1 s), ainsi que les syndromes de dépendance primaire (ATF 145 V 215) – doivent en principe faire l’objet d’une procédure probatoire structurée au sens de l’ ATF 141 V 281 (ATF 143 V 418 cons. 6 et 7 et les références citées). La question déterminante est celle de savoir si la limitation établie médicalement empêche, d’un point de vue objectif, la personne assurée d’effectuer une prestation de travail. Ainsi, le caractère invalidant d’atteintes à la santé psychique doit être établi dans le cadre d’un examen global, en tenant compte de différents indicateurs.

Les indicateurs standards devant être pris en considération en général sont classés d’après leurs caractéristiques communes. Les indicateurs appartenant à la catégorie "degré de gravité fonctionnel" forment le socle de base pour l’évaluation des troubles psychiques. Au sein de cette catégorie, dans le complexe "atteinte à la santé", le premier indicateur à mentionner est le caractère prononcé des éléments et des symptômes pertinents pour le diagnostic. Le point de départ est le degré de gravité minimal inhérent au diagnostic. Le succès du traitement ou la résistance au traitement, soit le déroulement et l’issue des traitements sont d’importants indicateurs du degré de gravité. Les troubles psychiques ne sont considérés comme invalidants que s’ils sont graves et ne peuvent pas (ou plus) être traités. Le complexe "personnalité" a trait aux capacités inhérentes à la personnalité, qui permettent des déductions sur la capacité physique. Quant au complexe "contexte social", il permet de faire des déductions quant aux ressources mobilisables de l’assuré. Il faut ensuite examiner si les conséquences qui sont tirées de l’analyse des indicateurs de la catégorie "degré de gravité fonctionnel" résistent à l’examen sous l’angle de la catégorie "cohérence". A ce titre, il convient notamment d’examiner si les limitations fonctionnelles se manifestent de la même manière dans la vie professionnelle et dans la vie privée, de comparer les niveaux d’activité sociale avant et après l’atteinte à la santé ou d’analyser la mesure dans laquelle les traitements et les mesures de réadaptation sont mis à profit ou négligés.

6.                            La recourante conteste les conclusions de l'expert-psychiatre. Dès lors que, ce faisant, elle met en cause sa valeur probante, il convient d'examiner ce point.

a) L'expert-psychiatre a posé le diagnostic, avec effet sur la capacité de travail, de trouble hyperkinétique (F90.0) et perturbation de l’attention sans hyperactivité. Sans impact sur la capacité de travail, il a retenu un trouble spécifique de la lecture (F81.0) et un trouble spécifique du développement moteur (F82). Ces conclusions ont été établies en pleine connaissance du dossier et en particulier des rapports de la psychiatre traitante des 24 juin 2020 et 31 mars 2021 ainsi que de l'examen neuropsychologique (rapport du 17.12.2021) et des tests psychologiques (évaluation de la personnalité effectuée par H.________) réalisés dans le cadre de l'expertise de SMEX. Elles sont fondées sur les propres constatations de l'expert, qui a rencontré personnellement l'assurée et décrivent clairement le contexte médical et les plaintes exprimées. Elles sont exemptes de contradictions notables et sont dûment motivées. S'agissant en particulier des indicateurs standard, il peut être relevé ce qui suit. Pour ce qui relève de la catégorie "degré de gravité fonctionnel", l'expert-psychiatre n'a pas constaté dans le cadre du complexe "atteinte à la santé" d'atteinte à la santé invalidante d'un point de vu psychiatrique, expliquant qu'il n'y a pas de trouble du comportement, pas de symptômes psychotiques positifs ou négatifs, pas de signes dépressifs francs, pas de signes anxieux, pas d'idées suicidaires. Il a relevé que l'assurée ne présente pas de plaintes d'ordre psychiatrique, mis à part une fatigabilité et parfois des difficultés de concentration liées à la fatigue; qu'il n'y a pas eu de décompensations psychotiques ni de décompensations dépressives ayant nécessité un traitement à base de psychotrope; qu'un trouble de la personnalité de type anankastique est écarté car l'assurée s'organise non pas dans le cadre de manifestations de trouble de la personnalité mais plutôt pour lutter contre les douleurs et la faiblesse physique; qu'elle ne manifeste pas cliniquement et anamnestiquement des manifestations obsessionnelles ou compulsives; que ce diagnostic posé par la Dre C.________ n'impacte pas la capacité de travail car il n'y a pas de dysfonctionnement relationnel ou une impossibilité d'effectuer des tâches professionnelles  en lien avec ce trouble. Dans le cadre des complexes "personnalité" et "contexte social", l'expert-psychiatre a noté que l'assurée arrive à s'organiser et à s'adapter aux différentes tâches quotidiennes et professionnelles; qu'elle bénéficie d'une psychothérapie de soutien qui l'aide à parler de ses difficultés et à extérioriser sa souffrance par rapport aux douleurs somatiques; que si elle présente des difficultés au niveau de la concentration et de la mémoire, son bon potentiel intellectuel lui permet de mettre en place des stratégies efficaces pour s'adapter aux différentes situations professionnelles et quotidiennes; que si le diagnostic de trouble déficitaire de l'attention est retenu, ses bonnes capacités cognitives lui permettent de s'organiser d'une manière satisfaisante pour effectuer ses tâches administratives professionnelles et ses tâches domestiques. En procédant à l'analyse des ressources de l'assurée, l'expert-psychiatre a aussi relevé qu'elle a des amis avec qui elle parle souvent par téléphone et qu'elle voit régulièrement ses parents, qu'elle montre de la résilience et essaie de trouver des stratégies d'adaptation, qu'elle est consciente de la réalité et a une bonne capacité de jugement, qu'elle a une bonne capacité relationnelle, qu'elle exprime bien ses émotions sans difficultés à contrôler ses impulsions, qu'elle a une bonne estime de soi, qu'elle a un bon dynamisme et cherche à trouver des solutions, qu'elle a une bonne capacité d'adaptation. Pour ce qui relève de la catégorie "cohérence", l'expert-psychiatre n'a pas relevé d'incohérences entre les plaintes de l'assurée et les différentes situations qu'elle décrit; il n'a pas non plus constaté des éléments d'auto-limitation, ni d'exagération ou de simulation. Il peut ainsi être retenu que l'expert-psychiatre a dûment procédé à l'examen des indicateurs posés par la jurisprudence en matière d'affections psychiques. Les conditions sont par ailleurs réunies qui permettent d'attribuer une pleine valeur probante à ce rapport d'expertise.

b) Il convient d'examiner si l'argumentation de la recourante peut receler un indice concret permettant de mettre en question la valeur et le bien-fondé du volet psychiatrique de l'expertise de SMEX, étant précisé qu'elle ne conteste aucunement les autres volets du rapport d'expertise et ne soulève aucun grief à leur sujet.

La recourante y oppose les conclusions de sa psychiatre traitante, faisant valoir que la Dre C.________ l'accompagne depuis 2006 de sorte qu'elle a une connaissance fine de sa personnalité et que le suivi dans le temps lui a permis d'identifier ses fonctionnements lui permettant de faire face à sa santé fragile. La spécialiste a ainsi pu constater un fonctionnement et une organisation de vie marqués par des attitudes rigides tendant à protéger une grande fragilité; que derrière le masque de son organisation, elle souffre de troubles dépressifs accompagnés de sentiments de tristesse, de fatigue et de fatigabilité ainsi que de troubles de la concentration; que cette spécialiste conclut qu'elle est au bord d'une décompensation dépressive grave qui n'est évitée que par une organisation pratique très compliquée requérant un effort psychique épuisant. La recourante reproche à l'expert-psychiatre d'ignorer l’évolution de son trouble psychique et elle se réfère à sa psychiatre, qui dans son courrier du 5 avril 2022 "note[ ] que par chronologie la souffrance psychique était exprimé en premier et ensuite enfuit derrière le dysfonctionnement somatique, qui actuellement est présent au premier plan et qui est ainsi le plus « visible »" (sic). La recourante fait valoir que les constats de sa psychiatre traitante ont aussi été constatés par la psychologue H.________, laquelle conclut son rapport en estimant que son fonctionnement est compatible avec un fonctionnement de la personnalité de type pré-psychotique. Cela étant, la recourante fait grief à l'expert-psychiatre de rejeter sans motivation les constatations de la psychologue en lien avec les aspects dépressifs et sa personnalité pré-psychotique. Elle lui reproche d'avoir rejeté le diagnostic de personnalité anankastique en omettant de prendre en considération l'évolution de l'expression de son trouble psychique, et d'établir un statut clinique qui exclut tous symptômes psychotiques et tous signes dépressifs et anxieux. La Cour de céans relève que l’argumentation de la recourante consiste en réalité à exposer une appréciation différente d’une même situation, sans pour autant mettre en évidence de point déterminant qui n’aurait pas été apprécié par l’expert-psychiatre ou de fait nouveau dont il n'aurait pas eu connaissance. La différence essentielle entre l'appréciation de la Dre C.________ et celle de l'expert-psychiatre a trait à la place des habitudes mises en place par la recourante. Celle-là affirme que ces habitudes sont le produit d’un trouble anankastique alors que celui-ci retient que ce sont les difficultés somatiques qui incitent l'assurée à s'organiser comme elle le fait, pour justement lutter contre les douleurs et la faiblesse psychique qu'elle doit surmonter au quotidien. Constatant que l'assurée ne manifeste pas cliniquement ni anamnestiquement des manifestations obsessionnelles ou compulsives, il en conclut que ce sont les douleurs qui l'empêchent d'effectuer des tâches professionnelles et non pas les symptômes psychiques. Il sied de relever que la Dre C.________ partage le point de vue de l'expert-psychiatre quant à la prééminence des troubles somatiques, confirmant, ainsi que cela est relevé ci-dessus, qu'actuellement le dysfonctionnement somatique est présent au premier plan et qu'il est le plus visible. Par ailleurs, l'expert-psychiatre n'écarte pas tout élément d'ordre psychiatrique mais considère que les ressources de l'assurée lui permettent de s'adapter grâce à différentes stratégies d'ordre organisationnel. S'agissant du grief selon lequel l'expert-psychiatre écarte sans explication les constatations de la psychologue selon laquelle son fonctionnement est compatible avec une personnalité de type pré-psychotique, il ressort du rapport d'expertise que l'expert-psychiatre a dûment noté qu'une fragilité de type décompensation dépressive et psychotique est mentionnée, et qu'il a constaté qu'aucun épisode de ce genre n'est décrit dans les rapports, ce qui explique sa différence d'appréciation avec la psychologue et le fait qu'il s'écarte de son opinion. En effet, il n'a pas à tenir compte d'une fragilité tant que celle-ci tient, grâce aux mécanismes mis en place par l'assurée, et que le "grand risque d'une décompensation psychiatrique importante" (cf. courrier de la Dre C.________ du 05.04.2022) ne s'est pas réalisé.

Cela étant, les arguments soulevés par la recourante ne permettent pas de mettre en doute la valeur probante de l'expertise psychiatrique ni les conclusions de l'expert-psychiatre. Il y a ainsi lieu de confirmer la pleine capacité de travail avec un rendement à 80 % dans une activité adaptée, conclusion à laquelle est parvenu l'OAI sur la base de l'expertise de SMEX.

La recourante ne conteste pas la détermination de l'invalidité et en particulier le revenu sans invalidité et le revenu avec invalidité. Ces points n'appellent par ailleurs pas de remarques particulières de la part de la Cour de céans. Ainsi, les considérations qui précèdent amènent au rejet du recours dirigé contre la décision de refus de rente du 5 septembre 2022.

7.                            La recourante demande à la Cour de céans la mise en œuvre d'une nouvelle expertise pluridisciplinaire neutre. Les faits figurant au dossier étant suffisants pour statuer sur le droit à la rente de l'assurée, comme cela vient d'être exposé, la mise en œuvre d'une nouvelle expertise n'apparaît pas propre à pouvoir modifier l'opinion de la Cour de céans. Aussi, procédant par appréciation anticipée des preuves (ATF 145 I 167 cons. 4.1), cette offre de preuve est rejetée.

8.                            Vu l'issue du litige, les frais de la procédure doivent être mis à la charge de la recourante (art. 69 al. 1bis LAI) qui ne peut par ailleurs pas prétendre à des dépens (art. 61 let. g LPGA a contrario).

9.                            La recourante sollicite l'assistance judiciaire. L’assistance judiciaire est accordée au justiciable qui ne peut pas assumer les frais liés à la défense de ses droits sans porter atteinte au minimum vital nécessaire à son entretien et celui de sa famille (art. 3 LAJ). En matière administrative, l’octroi de l’assistance judiciaire est en outre subordonné à la condition que la cause n’apparaisse pas dépourvue de toute chance de succès (art. 4 LAJ). Dans le cas d’espèce, l’indigence de la recourante peut être considérée comme établie dès lors qu’elle bénéficie de l’aide sociale. Ses conclusions n’apparaissaient par ailleurs pas d’emblée vouées à l’échec. Par conséquent, l’octroi de l’assistance judiciaire se justifie et Me Z.________ est désigné en qualité d'avocat d'office.

Par ces motifs,
la Cour de droit public

1.    Rejette le recours.

2.    Accorde l'assistance judiciaire à la recourante et désigne Me Z.________ en qualité d'avocat d'office.

3.    Met à la charge de la recourante un émolument de décision de 660 francs, montant provisoirement avancé par l'Etat dans le cadre de l'assistance judiciaire.

4.    N'alloue pas de dépens.

Neuchâtel, le 26 septembre 2023